Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{5^8\cdot11^{9}}{55^8}=\)
Приведем степени к одинаковым основаниям.
В числителе дроби основания степеней равны \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 11{\small.}\) Тогда представим \(\displaystyle 55\) как произведение этих чисел:
\(\displaystyle 55=5\cdot11{\small.}\)
Подставляем в исходное выражение:
\(\displaystyle \frac{5^8\cdot11^{9}}{55^8}=\frac{5^8\cdot11^{9}}{(5\cdot11)^8}{\small.}\)
Раскроем скобки. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.
То есть
\(\displaystyle \frac{5^8\cdot11^{9}}{(5\cdot11)^8}=\frac{5^8\cdot11^{9}}{5^8\cdot11^8}{\small.}\)
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней вычитаются.
Значит,
\(\displaystyle\frac{5^\color{green}{8}\cdot11^{\color{blue}{9}}}{5^\color{green}{8}\cdot11^\color{blue}{8}}=5^{\color{green}{8-8}}\cdot11^{\color{blue}{9-8}}=5^0\cdot11^1=11{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle\frac{5^8\cdot11^{9}}{55^8}=\frac{5^8\cdot11^{9}}{(5\cdot11)^8}=\frac{5^8\cdot11^{9}}{5^8\cdot11^8}=5^{8-8}\cdot11^{9-8}=11{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 11{\small.}\)