Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\left(5^{-4}\cdot 4^6\right)^2=\)
Раскроем скобки. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.
То есть
\(\displaystyle 5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\left(5^{-4}\cdot 4^6\right)^\color{blue}{2}=5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\left(5^{-4}\right)^{\color{blue}{2}}\cdot\left( 4^6\right)^\color{blue}{2}{\small.}\)
По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(5^{-4}\right)^{2}=5^{(-4)\cdot2}=5^{-8}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{\left( 2^6\right)^2=4^{6\cdot2}=4^{12}}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\color{green}{\left(5^{-4}\right)^{2}}\cdot\color{blue}{\left( 4^6\right)^2}=5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\color{green}{5^{-8}}\cdot \color{blue}{4^{12}}{\small.}\)
При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются.
Тогда
\(\displaystyle 5^{\color{green}{8}}\cdot 4^{\color{blue}{-13}}\cdot5^{\color{green}{-8}}\cdot 4^{\color{blue}{12}}=5^{\color{green}{8-8}}\cdot4^{\color{blue}{-13+12}}=5^0\cdot4^{-1}=4^{-1}{\small.}\)
По определению отрицательной степени \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}{\small.}\) Тогда
\(\displaystyle 4^{-1}=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\left(5^{-4}\cdot 4^6\right)^2=5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot\left(5^{-4}\right)^{2}\cdot\left( 4^6\right)^2=5^{8}\cdot 4^{-13}\cdot5^{-8}\cdot 4^{12}=\\[10px]=5^{{8-8}}\cdot4^{{-13+12}}=4^{-1}=0{,}25{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small.}\)