Найдите значение выражения:
\(\displaystyle 2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\left(2^{-2}\cdot 4^4\right)^3=\)
Раскроем скобки. При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень.
То есть
\(\displaystyle 2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\left(2^{-2}\cdot 4^4\right)^\color{blue}{3}=2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\left(2^{-2}\right)^{\color{blue}{3}}\cdot\left( 4^4\right)^\color{blue}{3}{\small.}\)
По правилу степени в степени показатели этих степеней перемножаются:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(2^{-2}\right)^{3}=2^{(-2)\cdot3}=2^{-6}}{\small,}\)
- \(\displaystyle \color{blue}{\left( 4^4\right)^3=4^{4\cdot3}=4^{12}}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle 2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\color{green}{\left(2^{-2}\right)^{3}}\cdot\color{blue}{\left( 4^4\right)^3}=2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\color{green}{2^{-6}}\cdot \color{blue}{4^{12}}{\small.}\)
При перемножении степеней с одинаковыми основаниями показатели этих степеней складываются.
Тогда
\(\displaystyle 2^{\color{green}{6}}\cdot 4^{\color{blue}{-13}}\cdot2^{\color{green}{-6}}\cdot 4^{\color{blue}{12}}=2^{\color{green}{6-6}}\cdot4^{\color{blue}{-13+12}}=2^0\cdot4^{-1}=4^{-1}{\small.}\)
По определению отрицательной степени \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}{\small.}\) Тогда
\(\displaystyle 4^{-1}=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\left(2^{-2}\cdot 4^4\right)^3=2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot\left(2^{-2}\right)^{4}\cdot\left( 4^4\right)^3=2^{6}\cdot 4^{-13}\cdot2^{-6}\cdot 4^{12}=\\[10px]=2^{{6-6}}\cdot4^{{-13+12}}=4^{-1}=0{,}25{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small.}\)