Решите уравнение:
\(\displaystyle (x-5)(x-6)(x-7)=(x-4)(x-6)(x-7){\small .} \)
В ответ введите произведение корней.
Для того чтобы решить уравнение
\(\displaystyle (x-5)(x-6)(x-7)=(x-4)(x-6)(x-7) \)
перепишем его в виде
\(\displaystyle (x-5)(x-6)(x-7)-(x-4)(x-6)(x-7)=0. \)
Вынесем общий множитель за скобки:
\(\displaystyle (x-5)\color{red}{(x-6)(x-7)}-(x-4)\color{red}{(x-6)(x-7)}=0,\)
\(\displaystyle \color{red}{(x-6)(x-7)}\left( (x-5)-(x-4)\right)=0{\small .}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \color{red}{(x-6)(x-7)}\left( x-5-x+4\right)=0,\)
\(\displaystyle \color{red}{(x-6)(x-7)}\left( -1\right)=0.\)
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно,
\(\displaystyle (x-6)(x-7)(-1)=0,\)
если \(\displaystyle x-6=0\) или \(\displaystyle x-7=0.\)
Таким образом, решения данного уравнения
\(\displaystyle x_1=6,\, x_2=7.\)
Найдем произведение корней:
\(\displaystyle 6\cdot 7=42.\)
Ответ:\(\displaystyle 42.\)