Решить уравнение:
\(\displaystyle (x^2-36)^2+(x^2+4x-12)^2=0{\small .} \)
В ответ введите сумму квадратов корней.
Если \(\displaystyle a \geqslant 0\) и \(\displaystyle b \geqslant 0{\small ,}\) то \(\displaystyle a+b=0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle a=0\) и \(\displaystyle b=0{\small. }\)
Действительно,
если \(\displaystyle a>0\) или \(\displaystyle b>0 {\small ,}\) то \(\displaystyle a+b>0{\small .}\) Что противоречит условию \(\displaystyle a+b=0{\small .}\)
Выражения \(\displaystyle (x^2-36)^2 \geqslant 0\) и \(\displaystyle (x^2+4x-12)^2 \geqslant 0\) для всех \(\displaystyle x{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle (x^2-36)^2+(x^2+4x-12)^2=0\)
равносильно системе уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&(x^2-36)^2=0{\small ,}\\&(x^2+4x-12)^2=0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как
- \(\displaystyle (x^2-36)^2=0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle x^2-36=0{\small ,}\)
- \(\displaystyle (x^2+4x-12)^2=0\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle x^2+4x-12=0{\small ,}\)
то система равносильна
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x^2-36=0{\small ,}\\&x^2+4x-12=0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим квадратные уравнения \(\displaystyle x^2-36=0\) и \(\displaystyle x^2+4x-12=0{\small .}\)
- \(\displaystyle 6\) и \(\displaystyle -6\) – корни уравнения \(\displaystyle x^2-36=0{\small ,}\)
- \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle -6\) – корни уравнения \(\displaystyle x^2+4x-12=0{\small .}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=6 \text{ \small или } x=-6{\small ,}\\&x=2 \text{ \small или } x=-6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решение системы – это значение переменной, которое присутствует одновременно в первой строке и во второй строке.
\(\displaystyle x=-6\) единственное решение данной системы.
Сумма квадратов корней:
\(\displaystyle (-6)^2=36{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 36{\small .}\)