Решить уравнение:
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1{\small .} \)
В ответ введите сумму квадратов корней.
Преобразуем данное рациональное уравнение так, чтобы с одной стороны была дробь, с другой стороны ноль:
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}=1{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-1=0{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3}{x^2-9}-\frac{x^2-9}{x^2-9}=0{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3-(x^2-9)}{x^2-9}=0{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{2x^2+7x+3-x^2+9}{x^2-9}=0{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{x^2+7x+12}{x^2-9}=0{\small .} \)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Полученное рациольное уравнение равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x^2+7x+12=0,\\&x^2-9\,\cancel{=}\,0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle x^2+7x+12=0.\)
\(\displaystyle {\rm D}=7^2-4\cdot 12{\small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}=1{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{-7+1}{2}=-3\) и \(\displaystyle \frac{-7-1}{2}=-4\) корни уравнения.
\(\displaystyle x^2-9=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x^2=9{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{9}\) или \(\displaystyle x=-\sqrt{9}{\small ,}\)
то есть
\(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=-3{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&x=-3 \text{ \small или } x=-4,\\&x\cancel{=}-3 \text{ \small и } x\,\cancel{=}\,3{\small .}\end{aligned}\right.\)
Таким образом,
\(\displaystyle x=-4{\small .}\)
Найдём сумму квадратов корней:
\(\displaystyle (-4)^2=16{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 16{\small .}\)