Решите уравнение:
\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5){\small .} \)
В ответ введите произведение корней.
Для того чтобы решить уравнение
\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5) \)
перепишем его в виде
\(\displaystyle (x-3)(x-4)(x-5)-(x-2)(x-4)(x-5)=0. \)
Вынесем общий множитель за скобки:
\(\displaystyle (x-3)\color{red}{(x-4)(x-5)}-(x-2)\color{red}{(x-4)(x-5)}=0,\)
\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( (x-3)-(x-2)\right)=0{\small .}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( x-3-x+2\right)=0,\)
\(\displaystyle \color{red}{(x-4)(x-5)}\left( -1\right)=0.\)
Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно,
\(\displaystyle (x-4)(x-5)(-1)=0,\)
если \(\displaystyle x-4=0\) или \(\displaystyle x-5=0.\)
Таким образом, решения данного уравнения
\(\displaystyle x_1=4,\, x_2=5.\)
Найдем произведение корней:
\(\displaystyle 4\cdot 5=20.\)
Ответ:\(\displaystyle 20.\)