Решить уравнение:
\(\displaystyle (x+2)^4-4(x+2)^2-5=0{\small .} \)
В ответ введите сумму квадратов корней.
\(\displaystyle (x+2)^4-4(x+2)^2-5=0{\small .} \)
Сделаем замену \(\displaystyle t=(x+2)^2{\small.}\) Так как \(\displaystyle (x+2)^4=\left((x+2)^2\right)^2{\small ,}\) то \(\displaystyle (x+2)^4=t^2{\small .}\)
Тогда уравнение \(\displaystyle (x+2)^4-4(x+2)^2-5=0 \) можно переписать как
\(\displaystyle t^2-4t-5=0{\small .}\)
Решим полученное квадратное уравнение:
\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4\cdot (-5){\small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}=36{\small ,}\)
\(\displaystyle {\rm D}=6^2{\small ,}\)
| \(\displaystyle t_1=5{\small ,}\) | \(\displaystyle t_1=-1{\small .}\) |
Так как \(\displaystyle t=(x+2)^2{\small ,}\) то
- уравнение \(\displaystyle t=-1\) даёт уравнение \(\displaystyle (x+2)^2=-1{\small ,}\)
- уравнение \(\displaystyle t=5\) даёт уравнение \(\displaystyle (x+2)^2=5{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 5>0{\small ,}\) то уравнение имеет два решения:
\(\displaystyle x+2= \sqrt{5}\) или \(\displaystyle x+2= -\sqrt{5}{\small .} \)
Cледовательно,
\(\displaystyle {\bf x=-2-\sqrt{5}}\) или \(\displaystyle {\bf x= -2+\sqrt{5}}{\small . } \)
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle -1<0{\small ,}\) то решений нет.
Найдём сумму квадратов корней.
Тогда
- \(\displaystyle (-2-\sqrt{5})^2=((-1)\cdot (2+\sqrt{5})^2=(-1)^2\cdot (2+\sqrt{5})^2=4+4\sqrt{5}+5\)
- \(\displaystyle (-2+\sqrt{5})^2=((-1)\cdot (2-\sqrt{5})^2=(-1)^2\cdot (2-\sqrt{5})^2=4-4\sqrt{5}+5\)
В итоге получаем:
\(\displaystyle (-2-\sqrt{5})^2+(-2+\sqrt{5})^2=4+4\sqrt{5}+5+4-4\sqrt{5}+5=18{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 18{\small .}\)