Решите квадратное уравнение:
\(\displaystyle (x-2)^2-5=0{\small .}\)
Уравнение
\(\displaystyle (x-2)^2-5=0\)
равносильно уравнению
\(\displaystyle (x-2)^{\,2}=5{\small .}\)
Согласно правилу
Уравнение \(\displaystyle x^2=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
уравнение \(\displaystyle (x-2)^{\,2}=5\) равносильно двум линейным уравнениям
\(\displaystyle x-2=\sqrt{5}\) и \(\displaystyle x-2=-\sqrt{5}{\small .}\)
Решим полученные линейные уравнения:
\(\displaystyle x-2=\sqrt{5}{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\sqrt{5}+2{\small .}\)
\(\displaystyle x-2=-\sqrt{5}{\small ,}\)
\(\displaystyle x=-\sqrt{5}+2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x=\sqrt{5}+2\) и \(\displaystyle x=-\sqrt{5}+2{\small .}\)