В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известно, что \(\displaystyle AC=BC{\small , }\) \(\displaystyle AB=4\sqrt{5}\) и высота \(\displaystyle AH=4{\small .}\) Найдите \(\displaystyle {\rm tg}(\angle BAC){\small .}\)
По условию: \(\displaystyle AH=4 {\small,}\, AB=4\sqrt{5}{\small.}\) Требуется найти \(\displaystyle {\rm tg}(\angle BAC){\small .}\) Пусть \(\displaystyle \angle BAC=\alpha{\small.}\) Найдём \(\displaystyle {\rm tg} \alpha{\small .}\) Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный. Поэтому \(\displaystyle \angle ABC=\angle BAC=\alpha{\small.}\) |  |
Найдём \(\displaystyle {\rm tg} \alpha\) из прямоугольного треугольника \(\displaystyle AHB{\small:}\)
\(\displaystyle {\rm tg} \alpha=\frac{AH}{BH}{\small.}\)
В треугольнике \(\displaystyle AHB{\small :}\)
По теореме Пифагора \(\displaystyle BH^2+AH^2=AB^2{\small .}\) Получаем: \(\displaystyle BH^2+4^2=(4\sqrt{5})^2{\small .}\) Значит, \(\displaystyle BH^2=(4\sqrt{5})^2-4^2=80-16=64{\small .}\) Так как длина отрезка положительна, \(\displaystyle BH=8{\small .}\) |  |
Получаем:
\(\displaystyle {\rm tg} \alpha=\frac{AH}{BH}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}=0{,}5{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle {\rm tg}(\angle BAC)=0{,}5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)