В группе туристов \(\displaystyle 50\) человек. С помощью жребия они выбирают пять человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Решение 1
Пусть событие \(\displaystyle A\) – турист К. пойдет в магазин.
Представим, как организована жеребьёвка: есть \(\displaystyle 50\) бумажек, пять из которых как-то помечены.
При такой жеребьёвке
- туристу К. с равной вероятностью может достаться любая из \(\displaystyle 50\) бумажек, то есть общее количество возможных исходов равно \(\displaystyle \color{blue}{50} {\small;}\)
- чтобы пойти в магазин, надо вытащить одну из пяти помеченных бумажек, то есть число благоприятных для события \(\displaystyle A\) исходов равно \(\displaystyle \color{green}{5}{\small.}\)
Согласно определению, вероятность события \(\displaystyle A\)равна
\(\displaystyle P(A)=\frac{{\footnotesize число\,\,благоприятных\,\, исходов}}{{\footnotesize число \,\,всех \,\,исходов}}=\frac{\color{green}{5}}{\color{blue}{50}}=0{,}1{\small.}\)
Ответ:\(\displaystyle 0{,}1{\small .}\)
Решение 2
Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по пять человек из \(\displaystyle 50{ \small ,}\) то есть
\(\displaystyle C_{50}^{5}=\frac{50!}{5!\, (50-5)!}=\frac{50!}{5!\, 45!}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу групп по пять человек, в которые входит турист К. Так как в таких группах одно место занято туристом К., то остается только четыре свободных места. Поэтому число таких групп равно числу групп по четыре человека из \(\displaystyle 49{\small : }\)
\(\displaystyle C_{49}^{4}=\frac{49!}{4!(49-4)!}=\frac{49!}{4!\,45!}{\small .}\)
По определению вероятность того, что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{C_{49}^{4}}{C_{50}^{5}} =\frac{49!}{4!\,45!}:\frac{50!}{5!\, 45!}=\frac{49!\, 5!\, 45!}{50!\,4!\,45! }=\frac{5}{50}=0{,}1{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle 0{,}1{\small .}\)