В группе туристов \(\displaystyle 50\) человек. С помощью жребия они выбирают пятерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что туристы А. и Б., входящие в состав группы, пойдут в магазин?
Решение 1
Предположим, что выбор \(\displaystyle 5\) туристов, которые идут в магазин, происходит следующим образом:
- туристов случайным образом выстраивают в шеренгу,
- затем первые \(\displaystyle 5\) человек отправляются в магазин.
Турист А. может занять любое из \(\displaystyle 50\) мест в шеренге.
Тогда турист Б. займет одно из \(\displaystyle 49\) оставшихся мест.
То есть число способов расположить туристов А. и Б. в шеренге из \(\displaystyle 50\) человек равно:
\(\displaystyle 50\cdot49\small.\)
(На каждое расположение туриста А. приходится \(\displaystyle 49\) вариантов расположения туриста Б., поэтому \(\displaystyle 50\) и \(\displaystyle 49\) перемножаются.)
Турист А. может занять любое из первых \(\displaystyle 5\) мест.
Тогда турист Б. займет одно из \(\displaystyle 4\) оставшихся мест.
То есть число способов расположить туристов А. и Б. в группе из первых \(\displaystyle 5\) туристов равно:
\(\displaystyle 5\cdot4\small.\)
По определению, вероятность того, что туристы А. и Б. пойдут в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{5\cdot4}{50\cdot49}=\frac{2}{245}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{2}{245}\small.\)
Решение 2
Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по пять человек из \(\displaystyle 50{\small , }\) то есть
\(\displaystyle C_{50}^{5}=\frac{50!}{5!(50-5)!}=\frac{50!}{5!\, 45!}{\small .}\)
Число благоприятных исходов равно числу групп по пять человек, в которые входят туристы А. и Б. Так как в таких группах два места занято туристами А. и Б., то остается только три свободных места. Поэтому число таких групп равно числу наборов по три человека из \(\displaystyle 48{\small : }\)
\(\displaystyle C_{48}^{3}=\frac{48!}{3!(48-3)!}=\frac{48!}{3!\, 45!}{\small .}\)
По определению, вероятность того, что туристы А. и Б., входящие в состав группы, пойдут в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle \frac{C_{48}^{3}}{C_{50}^{5}}=\frac{48!}{3!\, 45!}:\frac{50!}{5!\, 45!}=\frac{48!\,5!\, 45! }{50!\, 3!\, 45!}=\frac{4\cdot 5}{49 \cdot 50}=\frac{2}{245}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{2}{245}{\small .}\)
Решение 3
Обозначим события:
- \(\displaystyle A\) – турист А. пойдет в магазин,
- \(\displaystyle B\) – турист Б. пойдет в магазин,
- \(\displaystyle C\) – в магазин пойдут и А., и Б..
Тогда событие \(\displaystyle C\) произойдет в том случае, если произойдут события \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\)
Значит,
\(\displaystyle P(C)=P(A)\cdot P_A(B)\small.\)
Где \(\displaystyle P_A(B)\) вероятность того, что Б. пойдет в магазин, при условии, что пойдет А..
Найдем \(\displaystyle P(A)\) и \(\displaystyle P_A(B)\small.\)
\(\displaystyle P(A)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}\small.\)
Предположим, что выбор \(\displaystyle 5\) туристов, которые идут в магазин, происходит следующим образом:
- туристов случайным образом выстраивают в шеренгу,
- затем первые \(\displaystyle 5\) человек отправляются в магазин.
Тогда для туриста А. есть \(\displaystyle 50\) позиций в шеренге, которые он может занять (от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 50\)).
При этом турист А. отправится в магазин, если он займет одну из первых \(\displaystyle 5\) позиций в шеренге.
По определению, вероятность того, что турист А. пойдёт в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle P(A)=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}\small.\)
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{4}{49}\small.\)
Предположим, что выбор \(\displaystyle 5\) туристов, которые идут в магазин, происходит следующим образом:
- туристов случайным образом выстраивают в шеренгу,
- затем первые \(\displaystyle 5\) человек отправляются в магазин.
Турист А. уже занимает какую-то позицию в первой группе из \(\displaystyle 5\) человек.
Тогда для туриста Б. есть \(\displaystyle 49\) оставшихся позиций в шеренге, которые он может занять.
При этом турист Б. отправится в магазин, если он займет одно из оставшихся \(\displaystyle 4\) мест в первой пятерке.
По определению вероятность того, что турист Б., пойдёт в магазин, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{4}{49}\small.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle P(C)=P(A)\cdot P_A(B)=\frac{1}{10}\cdot\frac{4}{49}=\frac{2}{245}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{2}{245}\small.\)