Теория: 13 Вписанная окружность

Пусть квадрат \(\displaystyle ABCD\) описан около окружности с центром \(\displaystyle O\small,\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle K\)– точки касания окружности сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно. 

Радиусы \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\) перпендикулярны касательным \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно.

Прямые \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) параллельны, поскольку содержат противоположные стороны квадрата.

Прямая \(\displaystyle OM\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle BC\small.\) Значит, \(\displaystyle OM\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle AD\small.\)

Поскольку через точку \(\displaystyle O\) можно провести только один перпендикуляр к прямой \(\displaystyle AD\small,\) то прямые \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle OK\) совпадают.

Значит, \(\displaystyle MK\) – диаметр окружности.

В четырехугольнике \(\displaystyle MCDK\) все углы прямые. Следовательно, \(\displaystyle MCDK\)– прямоугольник. 

Тогда \(\displaystyle MK=CD\small,\) и диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.

Пусть \(\displaystyle ABCD\)– квадрат со стороной \(\displaystyle a\small.\) 

Найдем диагональ \(\displaystyle AC\) квадрата.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)

По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)

Значит,

\(\displaystyle AC^2=a^2 + a^2=2a^2.\)

Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=\sqrt {2a^2} = a\sqrt{2}.\)