Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, высота которого равна \(\displaystyle 6 \small.\)
Проведем высоту \(\displaystyle CH\) равностороннего треугольника \(\displaystyle ABC \small.\)
Пусть точка \(\displaystyle O\) – центр вписанной окружности.
Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения биссектрисс.
Биссектрисы равностороннего треугольника являются также высотами. Значит, точка \(\displaystyle O\) лежит на высоте \(\displaystyle CH \small.\) Поскольку отрезок \(\displaystyle OH\) перпендикулярен основанию треугольника, то он является радиусом окружности.
Высота равностороннего треугольника является также медианой, значит точка \(\displaystyle O\) – точка пересечения медиан.
Тогда точка \(\displaystyle O\) делит медиану \(\displaystyle CH\) в отношении \(\displaystyle 2:1 \small,\) считая от вершины \(\displaystyle C \small.\)
Следовательно,
\(\displaystyle r=\frac{1}{3} \cdot CH=\frac{1}{3} \cdot 6=2 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)