Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Преобразования выражений с корнями

Задание

Выберите число, равное корню \(\displaystyle \sqrt{4^5}{\small .}\)

Решение

Для того чтобы извлечь квадратный корень в выражении \(\displaystyle \sqrt{4^5}{\small ,}\) нам желательно преобразовать выражение под корнем к квадрату некоторого числа.

Будем использовать для этого правило:

Правило

Степень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle {\bf \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}}.\)

Сначала перепишем подкоренное выражение, записав \(\displaystyle 4 \) в виде степени \(\displaystyle 2{\small : } \)

\(\displaystyle \sqrt{4^5}=\sqrt{\left(2^2\right)^5}{\small .}\)

Теперь воспользуемся правилом "степень в степени", раскрыв скобки под корнем:

\(\displaystyle \sqrt{\left(2^2\right)^5}=\sqrt{2^{2\cdot 5}}=\sqrt{2^{10}}{\small . } \)

Снова используем наше правило, чтобы преобразовать получившееся выражение к квадрату некоторого числа:

\(\displaystyle \sqrt{2^{10}}=\sqrt{2^{5\cdot 2}}=\sqrt{\left(2^5\right)^2}{\small .}\)

Поскольку под корнем у нас получился полный квадрат, то мы можем извлечь из него корень:

\(\displaystyle \sqrt{\left(2^5\right)^2}=2^5{\small .}\)

Окончательно,  возводя \(\displaystyle 2\) в пятую степень, получаем:

\(\displaystyle 2^5=32{\small .}\)


Ответ: \(\displaystyle 32{\small . } \)

Порядок возведения степеней

Используем следующее свойство степеней.

Правило

Для любого положительного числа \(\displaystyle a\) и лююых чисел \(\displaystyle \color{blue}{x},\, \color{green}{y}\) верно, что

\(\displaystyle (a^{\,\color{blue}{x}})^{\color{green}{y}}=a^{\, \color{blue}{x} \cdot \color{green}{y} }=a^{\, \color{green}{y}\cdot \color{blue}{x}}=(a^{\, \color{green}{y}})^{\color{blue}{x}}{\small .}\)

 

В нашем случаем получаем:

\(\displaystyle \sqrt{4^5}=(4^{\color{blue}{5}})^{\color{green}{1/2}}=(4^{\color{green}{1/2}})^{\color{blue}{5}}=(\sqrt{4})^{\color{blue}{5}}=2^5=32{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle \sqrt{4^5}=32{\small .}\)