Центр окружности, описанной около треугольника \(\displaystyle ABC{\small ,}\) лежит на стороне \(\displaystyle AB{\small .}\) Радиус окружности равен \(\displaystyle 14{,}5{\small .}\) Найдите \(\displaystyle AC{\small ,}\) если \(\displaystyle BC=21{\small .}\)
По условию задачи, центр описанной около треугольника \(\displaystyle ABC{\small }\) окружности лежит на стороне \(\displaystyle AB{\small ,}\) радиус окружности равен \(\displaystyle 14{,}5{\small ,}\) \(\displaystyle BC=21{\small .}\) Требуется найти \(\displaystyle AC{\small .}\)
Поскольку центр окружности лежит на стороне \(\displaystyle AB{\small ,}\) то \(\displaystyle AB{\small }\)– диаметр окружности. Тогда \(\displaystyle AB=2\cdot 14{,}5=29{\small }\) как удвоенный радиус.
Вписанный угол \(\displaystyle ACB{\small }\) опирается на полуокружность.
Значит, угол \(\displaystyle ACB{\small }\) прямой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC{\small }\) с гипотенузой \(\displaystyle AB{\small .}\)
По теореме Пифагора, \(\displaystyle AB^2=AC^2 + BC^2{\small .}\)
Так как \(\displaystyle AB=29{\small ,}\) \(\displaystyle BC=21{\small ,}\) то
\(\displaystyle 29^2=AC^2 + 21^2{\small ,}\)
\(\displaystyle AC^2=29^2-21^2 =841-441=400{\small .}\)
Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=\sqrt {400} = 20.\)
Ответ: \(\displaystyle 20 {\small .}\)