Теория: 14 Описанная окружность

Пусть квадрат \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle ABC\small\) с гипотенузой \(\displaystyle AC\small.\) 

Окружность, описанная около квадрата, является окружностью, описанной около прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC\small.\)

По свойству 

Правило

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Окружность с центром \(\displaystyle O\) описана около прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\) Тогда: Центр окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус окружности равен половине гипотенузы. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

радиус окружности равен половине гипотенузы \(\displaystyle AC\small.\) 

\(\displaystyle AC\small\)– диагональ квадрата. 

Следовательно, радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата

Пусть \(\displaystyle ABCD\)– квадрат со стороной \(\displaystyle a\small.\) 

Найдем диагональ \(\displaystyle AC\) квадрата.

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small .} \)

Поскольку \(\displaystyle \angle ABC = 90^{\circ},\) то \(\displaystyle ABC\) – прямоугольный треугольник с гипотенузой \(\displaystyle AC.\)

По теореме Пифагора, \(\displaystyle AC^2=AB^2 + BC^2.\)

Значит,

\(\displaystyle AC^2=a^2 + a^2=2a^2.\)

Так как длина отрезка положительна, то \(\displaystyle AC=\sqrt {2a^2} = a\sqrt{2}.\)

Пусть квадрат \(\displaystyle ABCD\) описан около окружности с центром \(\displaystyle O\small,\) \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle K\)– точки касания окружности сторон \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно. 

Радиусы \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON\) перпендикулярны касательным \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно.

Прямые \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) параллельны, поскольку содержат противоположные стороны квадрата.

Прямая \(\displaystyle OM\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle BC\small.\) Значит, \(\displaystyle OM\) перпендикулярна прямой \(\displaystyle AD\small.\)

Поскольку через точку \(\displaystyle O\) можно провести только один перпендикуляр к прямой \(\displaystyle AD\small,\) то прямые \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle OK\) совпадают.

Значит, \(\displaystyle MK\) – диаметр окружности.

В четырехугольнике \(\displaystyle MCDK\) все углы прямые. Следовательно, \(\displaystyle MCDK\)– прямоугольник. 

Тогда \(\displaystyle MK=CD\small,\) и диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.