Теория: 05 Сравнение чисел и координатная прямая-2

Определим, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 6{\small .}\)

Для этого выпишем несколько первых квадратов натуральных чисел:

Получаем:

\(\displaystyle 4<6<9{\small ,}\)

\(\displaystyle 2^2<6<3^2{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{2^2}<\sqrt{6}<\sqrt{3^2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 2<\sqrt{6}<3{\small .}\)

Определим, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 7{\small .}\)

Для этого выпишем несколько первых квадратов натуральных чисел:

Получаем:

\(\displaystyle 4<7<9{\small ,}\)

\(\displaystyle 2^2<7<3^2{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{2^2}<\sqrt{7}<\sqrt{3^2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 2<\sqrt{7}<3{\small .}\)

Определим, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 10{\small .}\)

Для этого выпишем несколько первых квадратов натуральных чисел:

Получаем:

\(\displaystyle 9<10<16{\small ,}\)

\(\displaystyle 3^2<10<4^2{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{3^2}<\sqrt{10}<\sqrt{4^2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 3<\sqrt{10}<4{\small .}\)

Определим, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 15{\small .}\)

Для этого выпишем несколько первых квадратов натуральных чисел:

Получаем:

\(\displaystyle 9<15<16{\small ,}\)

\(\displaystyle 3^2<15<4^2{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{3^2}<\sqrt{15}<\sqrt{4^2}{\small ,}\)

\(\displaystyle 3<\sqrt{15}<4{\small .}\)

Сравним числа \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) и \(\displaystyle \sqrt{6}{\small .}\)

Так как

\(\displaystyle (2{,}5)^2=6{,}25{\small ,}\)

то 

\(\displaystyle 2{,}5=\sqrt{(2{,}5)^2}=\sqrt{6{,}25}{\small ,}\)

Поскольку

\(\displaystyle 6{,}25>6{\small ,}\)

то

\(\displaystyle (2{,}5)^2>6{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из обеих частей этого неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{(2{,}5)^2}>\sqrt{6}{\small ,}\)

\(\displaystyle 2{,}5>\sqrt{6}{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle 2<\sqrt{6}<2{,}5{\small .}\)

Нарисуем картинку:

Расстояние от точки \(\displaystyle \sqrt{6}{\small }\) до \(\displaystyle 2\) меньше расстояния от точки \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) до \(\displaystyle 2{\small ,}\) то есть меньше \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)

Расстояние от точки \(\displaystyle \sqrt{6}{\small }\) до \(\displaystyle 3\) больше расстояния от точки \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) до \(\displaystyle 3{\small ,}\) то есть больше \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle \sqrt{6}{\small }\) расположено ближе к числу \(\displaystyle 2{\small ,}\) чем к \(\displaystyle 3{\small .}\)

Сравним числа \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) и \(\displaystyle \sqrt{7}{\small .}\)

Так как

\(\displaystyle (2{,}5)^2=6{,}25{\small ,}\)

то 

\(\displaystyle 2{,}5=\sqrt{(2{,}5)^2}=\sqrt{6{,}25}{\small ,}\)

Поскольку

\(\displaystyle 6{,}25<7{\small ,}\)

то

\(\displaystyle (2{,}5)^2<7{{\small .}}\)

Так как все числа положительны, возьмем корень из обеих частей этого неравенства:

\(\displaystyle \sqrt{(2{,}5)^2}<\sqrt{7}{\small ,}\)

\(\displaystyle 2{,}5<\sqrt{7}{\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle 2{,}5{\small }<\sqrt{7}<3{\small .}\)

Нарисуем картинку:

Расстояние от точки \(\displaystyle \sqrt{7}{\small }\) до \(\displaystyle 3\) больше расстояния от точки \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) до \(\displaystyle 3{\small ,}\) то есть больше \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)

Расстояние от точки \(\displaystyle \sqrt{7}{\small }\) до \(\displaystyle 3\) меньше расстояния от точки \(\displaystyle 2{,}5{\small }\) до \(\displaystyle 3{\small ,}\) то есть меньше \(\displaystyle 0{,}5{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle \sqrt{7}{\small }\) расположено ближе к числу \(\displaystyle 3{\small ,}\) чем к \(\displaystyle 2{\small .}\)