Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в \(\displaystyle 4{,}4\) км от дома. Один идёт со скоростью \(\displaystyle 2{,}5\) км/ч, а другой – со скоростью \(\displaystyle 3\) км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.
Первый способ - без использования уравнения.
Движение пешеходов можно разделить на два этапа:
- пешеходы двигаются в одну сторону, пока второй, чья скорость больше, не дойдет до опушки;
- пешеходы идут навстречу друг другу – второй разворачивается от опушки и идет навстречу первому.
Время, которое потратит второй, чтобы дойти до опушки, равно \(\displaystyle \frac{4{,}4}{3}=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}\) часа.
Первый за это время пройдет \(\displaystyle 2{,}5\cdot \frac{22}{15}=\frac{11}{3}\)км.
Значит, расстояние между ними составит \(\displaystyle 4{,}4-\frac{11}{3}=\frac{11}{15}\)км на момент, когда второй дойдет до опушки.
После этого пешеходы начнут двигаться навстречу друг другу.
Искомое время равно расстоянию между пешеходами, поделенному на скорость сближения (сумму скоростей):
\(\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{11}{15}}{2{,}5+3}=\frac{ 2}{ 15 } \) ч.
За \(\displaystyle \frac{ 2}{ 15 }\) часа первый успеет пройти \(\displaystyle 2{,}5\cdot\frac{ 2}{ 15 }= \frac{ 1}{ 3 } \)км.
Поскольку до этого он уже прошел \(\displaystyle \frac{11}{3}\)км, то расстояние до дома составит \(\displaystyle \frac{11}{3}+\frac{ 1}{ 3 }=4\)км.
Ответ: \(\displaystyle 4 \)км.
Второй способ.
Посчитаем все через время.
Сначала заметим, что оба пешехода в сумме пройдут двойное расстояние от дома до опушки:
- первый – от дома до места встречи;
- второй – от дома до опушки и от опушки до места встречи.
Пусть \(\displaystyle x\) – расстояние от дома до места встречи. Тогда \(\displaystyle (4{,}4-x)\) – расстояние от места встречи до опушки.
Нанесем все данные на рисунок (\(\displaystyle A\) – дом, \(\displaystyle B\) – опушка, \(\displaystyle C\) – место встречи).
Первый человек прошёл \(\displaystyle x\) км со скоростью \(\displaystyle 2{,}5\) км/ч, поэтому его время в пути составило:
\(\displaystyle t_{1}=\frac{x}{2{,}5}{ \small .}\)
Путь второго составил \(\displaystyle AB+BC=4{,}4+(4{,}4-x)=8{,}8-x\) км, а скорость равна \(\displaystyle 3\) км/ч.
Значит, время второго в пути равно
\(\displaystyle t_{2}=\frac{8{,}8-x}{3}{ \small .}\)
Так как люди вышли из дома одновременно, то и их время до встречи одинаково, то есть \(\displaystyle t_{1}=t_{2}{ \small .}\)
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \frac{x}{2{,}5}=\frac{8{,}8-x}{3}{ \small .}\)
Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:
\(\displaystyle x \cdot 3=2{,}5 \cdot (8{,}8-x) { \small ,}\)
\(\displaystyle 3x=22-2{,}5x { \small ,}\)
\(\displaystyle 5{,}5x=22 { \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle x=22:5{,}5=4\) (км).
Значит, встреча произойдет на расстоянии \(\displaystyle 4\) км от дома.
Ответ: \(\displaystyle 4\)
Третий способ.
Посчитаем все через пройденное расстояние.
Сначала заметим, что оба пешехода в сумме пройдут двойное расстояние от дома до опушки:
- первый – от дома до места встречи;
- второй – от дома до опушки и от опушки до места встречи.
При встрече оба человека пройдут суммарно (см. рисунок):
\(\displaystyle AC+(AB+BC)=AC+BC+AB=AB+AB=2AB=2 \cdot 4{,}4=8{,}8\)км.
Расстояние от дома до места встречи равно расстоянию, пройденному первым человеком.
Пусть встреча произойдет через \(\displaystyle t\) часов.
Тогда один человек пройдёт \(\displaystyle 3t\) км, а другой – \(\displaystyle 2{,}5t\) км.
Таким образом, получаем
\(\displaystyle 3t+2{,}5t=8{,}8{ \small ,}\)
\(\displaystyle t=8{,}8:5{,}5{ \small ,}\)
\(\displaystyle t=1{,}6\) (ч).
Требуется найти расстояние, пройденное первым человеком.
Так как первый человек со скоростью \(\displaystyle 2{,}5\) км/ч за \(\displaystyle 1{,}6\) часа пройдет \(\displaystyle 2{,}5 \cdot 1{,}6=4\) км, то встреча произойдет на расстоянии \(\displaystyle 4\) км от дома.
Ответ: \(\displaystyle 4\)