Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высоту увеличить в два раза, а радиус основания уменьшить в четыре раза?
Изменяя радиус основания и высоту исходного конуса, получим новый конус.
Найдём отношение объёмов исходного и нового конусов. Тем самым ответим на вопрос задачи.
1. Пусть \(\displaystyle r\)– радиус основания, \(\displaystyle h\)– высота исходного конуса.
Тогда его объём
\(\displaystyle \color{red}{v= \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h }{ \small .} \)
2. Пусть \(\displaystyle R\)– радиус основания, \(\displaystyle H\) – высота нового конуса.
По условию \(\displaystyle R=\frac{r}{4}{ \small }\) и \(\displaystyle H=2h{ \small .}\)
Тогда его объём
\(\displaystyle V= \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot H= \frac{1}{3} \pi\cdot \left(\frac{r}{4}\right)^2 \cdot 2h= \frac{2}{3} \pi\cdot \frac{r^2}{16} \cdot h{ \small }\)
или
\(\displaystyle \color{blue}{V=\frac{1}{24} \pi r^2 \cdot h}{ \small .} \)
3. Найдём отношение \(\displaystyle V\) к \(\displaystyle v{ \small :}\)
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{V}}{\color{red}{v}}=\frac{\color{blue}{\frac{1}{24} \pi r^2 \cdot h}}{\color{red}{\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot h}}=\frac{1}{8}{ \small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{blue}{V}=\frac{1}{8}\cdot\color{red}{v}{ \small .}\)
Вывод: объём уменьшился в \(\displaystyle {8}\) раз.
Ответ: \(\displaystyle 8{ \small .}\)