Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности цилиндра, если его высоту увеличить в \(\displaystyle 2\) раза, а радиус основания уменьшить в \(\displaystyle 4\) раза.
Изменяя высоту и радиус исходного цилиндра, получим новый цилиндр.
Найдём отношение площадей боковых поверхностей исходного и нового цилиндров. Тем самым ответим на вопрос задачи.
1. Пусть \(\displaystyle r\)– радиус основания, \(\displaystyle h\)– высота исходного цилиндра.
Тогда площадь его боковой поверхности
\(\displaystyle \color{red}{s_{бок}= 2 \pi r \cdot h }{ \small .} \)
2. Пусть \(\displaystyle R\)– радиус основания, \(\displaystyle H\)– высота нового цилиндра.
По условию \(\displaystyle R=\frac{r}{4}{ \small }\) и \(\displaystyle H=2h{ \small .}\)
Тогда площадь его боковой поверхности
\(\displaystyle S_{бок}= 2 \pi R \cdot H= 2 \pi \cdot \frac{r}{4} \cdot 2h{ \small }\)
или
\(\displaystyle \color{blue}{S_{бок}= \pi r \cdot h}{ \small .} \)
3. Найдём отношение \(\displaystyle S_{бок}\) к \(\displaystyle s_{бок}{ \small :}\)
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{S_{бок}}}{\color{red}{s_{бок}}}=\frac{\color{blue}{ \pi r \cdot h}}{\color{red}{2 \pi r \cdot h}}=\frac{1}{2}{ \small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle \color{blue}{S_{бок}}=\frac{1}{2}\cdot\color{red}{s_{бок}}{ \small .}\)
Вывод: площадь боковой поверхности уменьшилась в \(\displaystyle {2}\) раза.
Ответ: \(\displaystyle 2{ \small .}\)