\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на сумму \(\displaystyle 700\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 60\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца долг составит \(\displaystyle 100\) тысяч рублей.
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1052\) тысяч рублей.
Найдите, под какой процент был взят кредит и чему равно \(\displaystyle n{\small .}\)
\(\displaystyle p\%=\)\(\displaystyle \%\)
\(\displaystyle n=\)
Напомним обозначения в задаче.
Кредит был взят на \(\displaystyle n+1\) месяц под \(\displaystyle p\) процентов в месяц.
Обозначим за \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)
Построим таблицу ежемесячных выплат.
Сначала поймем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\), то есть долг стал \(\displaystyle 700+\frac{p}{100}\cdot 700=(1+x)\cdot 700{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 60\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle (700-60)\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 700\) тысяч рублей до \(\displaystyle (700-60)\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 700 {\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle 60\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 60\) тысяч рублей:
\(\displaystyle x\cdot 700+60{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle 60\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 700\) | |||
| \(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 700-60\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}+60\) |
| \(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 700-2\cdot 60\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-60)}+60\) |
| \(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 700-3\cdot 60\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle n\) |
\(\displaystyle \color{green}{700-n\cdot 60}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-(n-1)\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-(n-1)\cdot 60)}+60\) |
| \(\displaystyle n+1\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-n\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-n\cdot 60)}+\color{green}{700-n\cdot 60}\) |
По условию известно, что в \(\displaystyle n\) месяце долг составляет \(\displaystyle 100\) тысяч рублей, и, следовательно,
\(\displaystyle \color{green}{700-n\cdot 60}=100{\small .}\)
Отсюда получаем, что
\(\displaystyle n=\frac{700-100}{60}{\small ,}\)
\(\displaystyle n=10{\small .}\)
Продолжим таблицу с \(\displaystyle n=10\) месяца.
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 10\) |
\(\displaystyle \color{green}{700-10\cdot 60}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-9\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-9\cdot 60)}+60\) |
| \(\displaystyle 11\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}\) |
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{700-10\cdot 60} {\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)} {\small . }\)
Поэтому выплата в последний месяц составит
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{x\cdot 700}+60+\color{blue}{x(700-60)}+60+\color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60+\ldots+\color{blue}{x(700-9\cdot 60)}+\\[5px]+60++\color{blue}{x(700-10\cdot 60)}+\color{green}{700-10\cdot 60}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l} x\cdot \color{blue}{700}+\color{green}{60}+x(\color{blue}{700}-\color{red}{60})+\color{green}{60}+ x(\color{blue}{700}-\color{red}{2\cdot 60})+\color{green}{60}+\ldots+x(\color{blue}{700}-\color{red}{9\cdot 60})+\\[5px]+\color{green}{60}+x(\color{blue}{700}-\color{red}{10\cdot 60})+700-10\cdot 60{\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{green}{\overbrace{60+60+60+\ldots+60}^{10\, раз}}+x(\color{blue}{\overbrace{700+700+700+\ldots+700+700}^{11 \, раз}})-\\[5px]-x\cdot 60(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+700-10\cdot 60 {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)
По условию, общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1052{\small .}\) Тогда получаем:
\(\displaystyle \color{green}{10\cdot 60}+x\cdot \color{blue}{11\cdot 700}-x\cdot 60\cdot\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+700-10\cdot 60=1052{\small .}\)
Упростим уравнение:
\(\displaystyle x\cdot \color{blue}{11\cdot 700}-x\cdot 60\cdot\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+700=1052{\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle \left(\color{blue}{11\cdot 700}-60\cdot \color{red}{55}\right)x=1052-700{\small ,}\)
\(\displaystyle 4400x=352{\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{352}{4400} {\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}08{\small .}\)
Так как \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small ,}\) то \(\displaystyle p=100\cdot x\) и
\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}08{\small ,}\)
\(\displaystyle p=8{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle n=10\) и \(\displaystyle p=8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle n=10\) и \(\displaystyle p=8{\small .}\)