\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 700\) тысяч рублей на \(\displaystyle 7\) месяцев. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 6\)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle 7\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Cумма долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 6\)-го месяца составляет \(\displaystyle 340\) тысяч рублей.
Общая сумма выплат после погашения кредита составила \(\displaystyle 882\) тысяч рублей.
Найдите процентную ставку, под которую был выдан кредит.
\(\displaystyle p=\) \(\displaystyle \%\)
Пусть \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)
Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на \(\displaystyle 10\)-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.
Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%{\small ,}\) то есть долг стал \(\displaystyle 700+\frac{p}{100}\cdot 700 =700+x\cdot 700 =(1+x)\cdot 700{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 700-y\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 700\) тысяч рублей до \(\displaystyle 700-y\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 700{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:
\(\displaystyle x \cdot 700+y{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 700\) | |||
| \(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 700-y\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 700}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x \cdot 700}+y\) |
| \(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 700-2\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-y)}+y\) |
| \(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 700-3\cdot y\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-2\cdot y)}+y\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 6\) |
\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot y)}+y\) |
Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 6-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}{\small .}\)
С другой стороны, по условию задачи долг на 10-е число 6-го месяца равен \(\displaystyle 340\) тысяч рублей. Следовательно,
\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot y}=340{\small .}\)
Отсюда получаем, что
\(\displaystyle y=\frac{700-340}{6}{\small ,}\)
\(\displaystyle y=60{\small .}\)
Продолжим таблицу:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 6\) |
\(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot 60}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-5\cdot 60)}+y\) |
| \(\displaystyle 7\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}\) |
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{700-6\cdot 60} {\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}{\small . }\)
Поэтому общая выплата в последней месяц равна
\(\displaystyle \color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{x\cdot 700}+60+\color{blue}{x(700-60)}+60+\color{blue}{x(700-2\cdot 60)}+60+\ldots\\[5px]\ldots+\color{blue}{x(700-5\cdot 60)}+60\,+\color{blue}{x(700-6\cdot 60)}+\color{green}{700-6\cdot 60}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}x\cdot \color{blue}{700}+\color{green}{60}+x(\color{blue}{700}-\color{red}{60})+\color{green}{60}+ x(\color{blue}{700}-\color{red}{2\cdot 60})+\color{green}{60}+\ldots\\[5px]\ldots+x(\color{blue}{700}-\color{red}{5\cdot 60})+\color{green}{60}\,+x(\color{blue}{700}-\color{red}{6\cdot 60})+700-6\cdot 60 {\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{c} \color{green}{\overbrace{60+60+60+\ldots+60}^{6\, раз}}\,+x(\color{blue}{\overbrace{700+700+700+\ldots+700+700}^{7 \, раз}}\,)-\\[5px]-x\cdot \color{red}{60}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{5}+\color{red}{6})+700-6\cdot 60 {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{5}+\color{red}{6}=\color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}{\small .}\)
Так как по условию общая сумма выплат после погашения кредита равна \(\displaystyle 882\) тысяч рублей, то
\(\displaystyle \color{green}{6\cdot 60}+x\cdot \color{blue}{7\cdot 700}-x\cdot \color{red}{60}\cdot \color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}+700-6\cdot 60=882{\small ,}\)
\(\displaystyle x\cdot \color{blue}{7\cdot 700}-x\cdot \color{red}{60\cdot} \color{red}{\frac{(1+6)}{2}\cdot 6}+700=882{\small ,}\)
\(\displaystyle \left(7\cdot 700-60\cdot \frac{1+6}{2}\cdot 6\right)x=882-700{\small ,}\)
\(\displaystyle \left(7\cdot 700-60\cdot \frac{1+6}{2}\cdot 6\right)x=182{\small ,}\)
\(\displaystyle 3640x=182{\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}05{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle p=100\cdot x{\small ,}\)
\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}05{\small ,}\)
\(\displaystyle p=5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 5\%{\small .}\)