\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке в размере \(\displaystyle 800\) тысяч рублей на \(\displaystyle 11\) месяцев. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle 11\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1240\) тысяч рублей.
Найдите сумму долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 10\)-го месяца.
тысяч рублей
Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – сумма долга на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 10\)-го месяца.
Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на \(\displaystyle 10\)-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.
Сначала разберем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\%{\small ,}\) то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot x=1{,}08\cdot 800{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 10\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}08\cdot 800{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0{,}08 \cdot 800+y{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 800\)
| |||
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 800-y\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08\cdot 800}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08\cdot 800}+y\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 800-2\cdot y\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-y)}+y\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 800-3\cdot y\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-2\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-2\cdot y)}+y\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-9\cdot y)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-9\cdot y)}+y\) |
| \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-10\cdot y)}\)
| \(\displaystyle \color{blue}{0{,}08(800-10\cdot y)}+\color{green}{800-10\cdot y}\) |
Из таблицы получаем, что долг на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 10\)-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}{\small ,}\) и, следовательно,
\(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{0{,}08\cdot 800}+y+\color{blue}{0{,}08(800-y)}+y+\color{blue}{0{,}08(800-2\cdot y)}+y+\ldots+\\[5px]+\color{blue}{0{,}08(800-9\cdot y)}+y+\color{blue}{0{,}08(800-10\cdot y)}+\color{green}{800-10\cdot y}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l}0{,}08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{y}+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{y})+\color{green}{y}+ 0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot y})+\color{green}{y}+\ldots+\\[5px]+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot y})+\color{green}{y}+0{,}08(\color{blue}{800}-\color{red}{10\cdot y})+800-10\cdot y {\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{green}{\underbrace{y+y+y+\ldots+y}_{10\, раз}}\,+0{,}08(\color{blue}{\underbrace{800+800+800+\ldots+800+800}_{11 \, раз}}\,) -\\[10px]-0{,}08\cdot \color{red}{y}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+800-10\cdot y {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)
По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1240{\small .}\)
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{green}{10\cdot y}+0{,}08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0{,}08\cdot\color{red}{y}\cdot\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800-10\cdot y=1240{\small .}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle 0{,}08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0{,}08\cdot\color{red}{y}\cdot\color{red}{55}+800=1240{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle y=\frac{0{,}08\cdot 11\cdot 800+800-1240}{ 0{,}08\cdot 55}{\small ,}\)
\(\displaystyle y=\frac{ 264}{4{,}4}{\small ,}\)
\(\displaystyle y=60{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle y=60\) в выражение \(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small , }\) получаем:
\(\displaystyle x=800-10\cdot 60{\small ,}\)
\(\displaystyle x=200{\small .}\)
Таким образом, на \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle 10\)-го месяца сумма долга составляла \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.
Ответ: \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.