\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на \(\displaystyle 20\) месяцев. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 6\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 19\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle 20\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1174\) тысяч рублей.
Какой долг будет \(\displaystyle 10\)-го числа \(\displaystyle 19\)-го месяца?
тысяч рублей
Пусть кредит взят на сумму \(\displaystyle x\) тысяч рублей. Сначала поймем, как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 6\%{\small ,}\) то есть долг стал \(\displaystyle x+\frac{6}{100}\cdot x=1{,}06x{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle 19\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle x-35\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle x\) тысяч рублей до \(\displaystyle x-35\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0{,}06x \,{\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle 35\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 35\) тысяч рублей:
\(\displaystyle 0{,}06x+35{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle 35\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle x\) | |||
| \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle x-35\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06x}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06x}+35\) |
| \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle x-2\cdot 35\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-35)}+35\) |
| \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle x-3\cdot 35\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}+35\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 19\) | \(\displaystyle \color{green}{x-19\cdot 35}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}+35\) |
| \(\displaystyle 20\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}\) |
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{x-19\cdot 35} {\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)} {\small . }\)
Поэтому выплата в последний месяц составит
\(\displaystyle \color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0{,}06x}+35+\color{blue}{0{,}06(x-35)}+35+\color{blue}{0{,}06(x-2\cdot 35)}+35+\\[5px]+\ldots+\color{blue}{0{,}06(x-18\cdot 35)}+35+\color{blue}{0{,}06(x-19\cdot 35)}+\color{green}{x-19\cdot 35}{\small .}\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l} 0{,}06\color{blue}{x}+\color{green}{35}+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{35})+\color{green}{35}+ 0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{2\cdot 35})+\color{green}{35}+\ldots+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{18\cdot 35})+\\[5px]+\color{green}{35}+0{,}06(\color{blue}{x}-\color{red}{19\cdot 35})+x-19\cdot 35{\small .}\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{green}{\underbrace{35+35+35+\ldots+35}_{19\, раз}}+0{,}06(\color{blue}{\underbrace{x+x+x+\ldots+x+x}_{20 \, раз}})-\\[5px]-0{,}06\cdot 35(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19})+x-19\cdot 35{\small.}\end{aligned}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19}=\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}{\small .}\)
Подставляя, получаем, что общая сумма выплат равна
\(\displaystyle \color{green}{19\cdot 35}+0{,}06\cdot \color{blue}{20x}-0{,}06\cdot 35\cdot\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+x-19\cdot 35{\small.}\)
По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1174{\small .}\)
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{green}{19\cdot 35}+0{,}06\cdot \color{blue}{20x}-0{,}06\cdot 35\cdot\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+x-19\cdot 35=1174{\small.}\)
Решим полученное уравнение:
\(\displaystyle 0{,}06\cdot 20x-0{,}06\cdot 35\cdot 10 \cdot 19 +x=1174{\small,}\)
\(\displaystyle (0{,}06\cdot 20+1)x-399=1174{\small,}\)
\(\displaystyle x=\frac{1174+399}{2{,}2}{\small,}\)
\(\displaystyle x=715{\small .}\)
В условии задачи просят найти долг на 10-го числа 19-го месяца, который равен \(\displaystyle x-19\cdot 35{\small .}\)
Значит, долг на 10-е число 19-го месяца составит
\(\displaystyle 715-19\cdot 35=50{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 50\) тысяч рублей.