Skip to main content

Теория: 06 Линейные операции над векторами в координатах

Задание

Найдите координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c} \small.\)

Координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c}{:}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle ;\)\(\displaystyle )\)

Решение

Сначала по рисунку найдем координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\small,\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\small,\) а затем найдем координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c} \small.\)

 

По рисунку векторы \(\displaystyle \overrightarrow {a}\small,\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) отложены от начала координат. Точка \(\displaystyle O(0;0)\)– начало векторов. 

Обозначим концы векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\small,\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) через \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) соответственно.

Точки \(\displaystyle A\small,\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) имеют координаты  \(\displaystyle A(-3;-1)\small,\) \(\displaystyle B(1;2)\) и \(\displaystyle C(1;-3)\small.\)

Значит, координаты векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\small,\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {c}\) равны 

\(\displaystyle \overrightarrow {a}(-3;-1),\) \(\displaystyle \overrightarrow {b}(1;2)\)  и  \(\displaystyle \overrightarrow {c}(1;-3)\small.\)

 

Так как 

\(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}-\overrightarrow {c}=(2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})-\overrightarrow {c}\small,\)  

можно сначала найти координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}\small,\) потом – координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\small,\) а затем – координаты \(\displaystyle (2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})-\overrightarrow {c}\small.\)

 

Координаты вектора \(\displaystyle {2}\overrightarrow {a}\) равны \(\displaystyle (-6;-2)\small,\) координаты вектора \(\displaystyle 2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\) равны \(\displaystyle (-5;0)\small.\)

Так как каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, координаты вектора \(\displaystyle (2\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b})-\overrightarrow {c}\) равны

\(\displaystyle (-5 -1;0-(-3))\small,\)

или

\(\displaystyle (-6;3)\small.\)

Ответ: \(\displaystyle (-6;3)\small.\)