Установите соответствие между неравенствами и их решениями:
| \(\displaystyle 2^x\geqslant 2\) | |
| \(\displaystyle 0{,}5^x\geqslant 2\) | |
| \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) | |
| \(\displaystyle 2^x\leqslant 2\) |
Каждое решение соответствует одному из неравенств в условии.
Найдем решения трех неравенств.
Последнему оставшемуся неравенству будет соответствовать оставшееся решение.
Перепишем правую часть в виде степени с основанием \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle 2= \color{blue}{2}^{1}{\small .}\)
Получим неравенство
\(\displaystyle \color{blue}{2}^{x}\geqslant\color{blue}{2}^{1}{\small .}\)
Основания левой и правой частей равны \(\displaystyle \color{blue}{ 2}{ \small ,}\) при этом \(\displaystyle \color{blue}{ 2}>1{ \small .}\) Тогда при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится. Получаем:
\(\displaystyle x\geqslant 1{\small ,}\)
решение неравенства \(\displaystyle [1;+\infty ){\small .}\)
Следовательно, решением оставшегося неравенства \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) является оставшийся ответ \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)
Ответ: соответствие между неравенствами и их решениями
| \(\displaystyle 2^x\geqslant 2\) | \(\displaystyle [1;+\infty ){\small }\) |
| \(\displaystyle 0{,}5^x\geqslant 2\) | \(\displaystyle (-\infty ; -1]{\small }\) |
| \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) | \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small }\) |
| \(\displaystyle 2^x\leqslant 2\) | \(\displaystyle (-\infty ; 1]{\small }\) |
Можно явно показать, что решением неравенства \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) является \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)
Перепишем левую часть в виде степени с основанием \(\displaystyle 2{\small :}\)
\(\displaystyle 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=\color{red}{2}^{-1}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 0{,}5^x=(2^{-1})^x=2^{-x}\small,\) то получим неравенство
\(\displaystyle \color{red}{2}^{-x}\leqslant \color{red}{2}^1{\small .}\)
Основания левой и правой частей равны \(\displaystyle \color{red}{ 2}{ \small ,}\) при этом \(\displaystyle \color{red}{ 2}>1{ \small .}\) Тогда при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится. Получаем:
\(\displaystyle -x\leqslant 1{\small ,}\)
\(\displaystyle x\geqslant -1\small,\)
решение неравенства \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)