Skip to main content

Теория: 04 Решение неравенств - 2

Задание

Установите соответствие между неравенствами и их решениями:

\(\displaystyle 2^x\geqslant 2\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 0{,}5^x\geqslant 2\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) Перетащите сюда правильный ответ
\(\displaystyle 2^x\leqslant 2\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Каждое решение соответствует одному из неравенств в условии.

Найдем решения трех неравенств.

Последнему оставшемуся неравенству будет соответствовать оставшееся решение.

Решением неравенства \(\displaystyle 2^x\geqslant 2\) является \(\displaystyle [1;+\infty ){\small .}\) 

Перепишем правую часть в виде степени с основанием \(\displaystyle 2{\small :}\)

\(\displaystyle 2= \color{blue}{2}^{1}{\small .}\)

Получим неравенство

\(\displaystyle \color{blue}{2}^{x}\geqslant\color{blue}{2}^{1}{\small .}\)

Основания левой и правой частей равны \(\displaystyle \color{blue}{ 2}{ \small ,}\) при этом \(\displaystyle \color{blue}{ 2}>1{ \small .}\) Тогда при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится. Получаем:

\(\displaystyle x\geqslant 1{\small ,}\)

решение неравенства \(\displaystyle [1;+\infty ){\small .}\)

Решением неравенства \(\displaystyle 2^x\leqslant 2\) является \(\displaystyle (-\infty ; 1] {\small .}\)

Решением неравенства \(\displaystyle 0{,}5^x\geqslant 2\) является \(\displaystyle (-\infty ; -1] {\small .}\) 

Следовательно, решением оставшегося неравенства \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) является оставшийся ответ \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)

 

Ответ: соответствие между неравенствами и их решениями

\(\displaystyle 2^x\geqslant 2\)\(\displaystyle [1;+\infty ){\small }\)
\(\displaystyle 0{,}5^x\geqslant 2\)\(\displaystyle (-\infty ; -1]{\small }\)
\(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\)\(\displaystyle [-1;+\infty ){\small }\)
\(\displaystyle 2^x\leqslant 2\)\(\displaystyle (-\infty ; 1]{\small }\)

 

Можно явно показать, что решением неравенства \(\displaystyle 0{,}5^x\leqslant 2\) является \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)

Перепишем левую часть в виде степени с основанием \(\displaystyle 2{\small :}\)

\(\displaystyle 0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=\color{red}{2}^{-1}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle 0{,}5^x=(2^{-1})^x=2^{-x}\small,\) то получим неравенство

\(\displaystyle \color{red}{2}^{-x}\leqslant \color{red}{2}^1{\small .}\)

Основания левой и правой частей равны \(\displaystyle \color{red}{ 2}{ \small ,}\) при этом \(\displaystyle \color{red}{ 2}>1{ \small .}\) Тогда при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится. Получаем:

\(\displaystyle -x\leqslant 1{\small ,}\)

\(\displaystyle x\geqslant -1\small,\)

решение неравенства \(\displaystyle [-1;+\infty ){\small .}\)