Установите соответствие между неравенствами и их решениями:
| \(\displaystyle \frac{x-1}{x-5}< 0\) | |
| \(\displaystyle \frac{1}{(x-5)(x-1)}>0\) | |
| \(\displaystyle \log_4 x>0\) | |
| \(\displaystyle 4^{-x+7}>16\) |
Каждое решение соответствует одному из неравенств в условии.
Найдем решения рациональных и показательного неравенств.
Последнему оставшемуся логарифмическому неравенству будет соответствовать оставшееся решение.
1. Найдем корни числителя и знаменателя выражения \(\displaystyle \frac{x-1}{x-5}{\small :}\)
\(\displaystyle x-1=0\) или \(\displaystyle x-5=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x=1\) или \(\displaystyle x=5{\small .}\)
2. Расставим на числовой оси точки, соответствующие найденным корням.
Поскольку неравенство строгое, то нули числителя и знаменателя обозначаются выколотыми точками.
3. Получили три интервала, на которых нужно определить знаки:
\(\displaystyle (-\infty;1){\small ,}\) \(\displaystyle (1;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
Тогда для \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-5}\) получаем:
\(\displaystyle f(0)>0\quad\quad\quad\quad\quad f(2)<0\quad\quad\quad\quad\quad f(6)>0\)
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{x-1}{x-5}<0\) соответствуют промежуткам, где функция отрицательна, откуда
\(\displaystyle (1;5)\) – искомое решение.
Следовательно, решением оставшегося неравенства \(\displaystyle \log_4 x>0\) является оставшийся ответ \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Ответ: соответствие между неравенствами и их решениями
| \(\displaystyle \frac{x-1}{x-5}< 0\) | \(\displaystyle (1;5){\small }\) |
| \(\displaystyle \frac{1}{(x-5)(x-1)}>0\) | \(\displaystyle (-\infty;1)\cup(5;+\infty){\small}\) |
| \(\displaystyle \log_4 x>0\) | \(\displaystyle (1;+\infty){\small }\) |
| \(\displaystyle 4^{-x+7}>16\) | \(\displaystyle (-\infty;5){\small }\) |
Можно явно показать, что решением неравенства \(\displaystyle \log_4 x>0\) является \(\displaystyle (1;+\infty){\small .}\)
Логарифм \(\displaystyle \log_4 x\) определен при \(\displaystyle x>0{\small .}\)
Перепишем правую часть в виде логарифма с основанием \(\displaystyle 4{\small :}\)
\(\displaystyle 0= \log_\color{blue}{4}{4^0}=\log_\color{blue}{4}{1}{\small .}\)
Получим неравенство
\(\displaystyle \log_\color{blue}{4}{x}>\log_\color{blue}{4}{1}{\small .}\)
Основания логарифмов левой и правой частей равны \(\displaystyle \color{blue}{ 4}{ \small ,}\) при этом \(\displaystyle \color{blue}{ 4}>1{ \small .}\) Тогда при переходе к неравенству на выражения под логарифмом знак неравенства не изменится. Получаем:
\(\displaystyle x>1{\small .}\)
С учетом области определения \(\displaystyle x>0{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \quad\quad\quad\quad\quad \color{green}{x>0}\quad\quad\quad\quad\quad \color{red}{x>1}\)
Решением является область с двойной штриховкой.
Следовательно,
\(\displaystyle x\in (1;+\infty){\small .}\)