Теория: 11 Подобие, отрезки хорд, секущих и касательных

По условию, четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность, прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) пересекаются в точке \(\displaystyle K{\small ,}\) \(\displaystyle BK =14{\small ,}\) \(\displaystyle DK=10{\small ,}\) \(\displaystyle BC=21{\small .}\) Требуется найти \(\displaystyle AD{\small .}\)

\(\displaystyle \angle \color{red}{BAD}\) и \(\displaystyle \angle \color{green}{BCD} \)– противоположные углы вписанного четырехугольника \(\displaystyle ABCD{\small .}\)

По свойству вписанного четырехугольника, 

\(\displaystyle \angle \color{red}{BAD} +\angle \color{green}{BCD} =180^{\circ}{\small .}\)

Углы \(\displaystyle \angle \color{red}{BAD}\) и \(\displaystyle \angle \color{blue}{KAD}\)– смежные. Их сумма равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\)

\(\displaystyle \angle \color{red}{BAD} +\angle \color{blue}{KAD} =180^{\circ}{\small .}\)

Поскольку \(\displaystyle \angle \color{red}{BAD} +\angle \color{green}{BCD} =180^{\circ}{\small }\) и \(\displaystyle \angle \color{red}{BAD} +\angle \color{blue}{KAD} =180^{\circ}{\small ,}\) то 

\(\displaystyle \angle \color{red}{BAD} +\angle \color{green}{BCD} =\angle \color{red}{BAD} +\angle \color{blue}{KAD}{\small ,}\)

\(\displaystyle \angle \color{green}{BCD} =\angle \color{blue}{KAD}{\small .}\)

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle KAD\) и \(\displaystyle KCB{\small .}\)

Они подобны по двум углам: угол \(\displaystyle K\) общий, и по доказанному выше \(\displaystyle \angle KAD=\angle KCB{\small .}\)

Следовательно, выполняется соотношение 

\(\displaystyle \frac{AD}{BC}=\frac{DK}{BK}{\small .}\)

Так как \(\displaystyle BK =14{\small ,}\) \(\displaystyle DK=10{\small ,}\) \(\displaystyle BC=21{\small ,}\) то

\(\displaystyle \frac{AD}{21}=\frac{10}{14}{\small ,}\)

\(\displaystyle {AD}={21}\cdot \frac{10}{14}=15{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 15 {\small .}\)