Хорды \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) окружности пересекаются в точке \(\displaystyle P\small,\) \(\displaystyle BP=15\small,\) \(\displaystyle CP =6\small,\) \(\displaystyle DP =10\small.\) Найдите \(\displaystyle AP\small.\)
По условию, хорды \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) окружности пересекаются в точке \(\displaystyle P\small,\) \(\displaystyle BP=15\small,\) \(\displaystyle CP =6\small,\) \(\displaystyle DP=10\small. \) Требуется найти отрезок \(\displaystyle AP\small.\)
По теореме об отрезках пересекающихся хорд
Теорема об отрезках пересекающихся хорд
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
\(\displaystyle \color{red}{AP} \cdot \color{red}{CP} =\green{BP} \cdot \green{DP} {\small .}\)
получаем
\(\displaystyle AP\cdot CP=BP\cdot DP{\small ,}\)
\(\displaystyle AP=\frac{BP\cdot DP}{CP}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle BP=15\small,\) \(\displaystyle CP =6\small,\) \(\displaystyle DP=10{\small ,}\) то
\(\displaystyle AP=\frac{15\cdot 10}{6}=25{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 25 {\small .}\)