Через точку \(\displaystyle A\small,\) лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке \(\displaystyle K\small.\) Другая прямая пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small,\) причём \(\displaystyle AB=2\small,\) \(\displaystyle AC=8\small.\) Найдите \(\displaystyle AK\small.\)
По условию, через точку \(\displaystyle A\small,\) лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке \(\displaystyle K\small.\) Другая прямая пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small,\) причём \(\displaystyle AB=2\small,\) \(\displaystyle AC=8\small.\) Требуется найти отрезок \(\displaystyle AK\small.\)
По теореме о касательной и секущей
Теорема о касательной и секущей
Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.
| \(\displaystyle \color{blue}{AB}^{2}=\color{red}{AC}\cdot\color{green}{AD}\) |  |
получаем
\(\displaystyle \color{blue}{AK}^{2}=\color{red}{AB}\cdot\color{green}{AC}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle AB=2\small,\) \(\displaystyle AC =8{\small ,}\) то
\(\displaystyle AK^2=2\cdot 8{\small ,}\)
\(\displaystyle AK^2=16{\small .}\)
Поскольку длина отрезка положительна,
\(\displaystyle AK=\sqrt{16}=4{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 4 {\small .}\)