Точка \(\displaystyle O\)– центр окружности, на которой лежат точки \(\displaystyle A{\small ,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small .}\) Известно, что \(\displaystyle \angle ABC=58^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle OAB=25^{\circ}{\small .}\) Найдите \(\displaystyle \angle BCO {\small .}\) Ответ дайте в градусах.
По условию, \(\displaystyle O\)– центр окружности, на которой лежат точки \(\displaystyle A{\small ,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small ,}\) \(\displaystyle \angle ABC=58^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle OAB=25^{\circ}{\small .}\) Требуется найти \(\displaystyle \angle BCO {\small .}\)
Проведем радиус \(\displaystyle BO {\small .}\)
Треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle BOC\) равнобедренные (\(\displaystyle AO=OB\), \(\displaystyle BO=OC\)).
По свойству равнобедренных треугольников, углы при основании равны. Значит,
\(\displaystyle \angle \color{green}{OBA}=\angle OAB{\small ,}\) \(\displaystyle \angle BCO=\angle \color{red}{OBC}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \angle OAB=25^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle \color{green}{OBA}=\angle OAB=25^{\circ}{\small .}\)
Луч \(\displaystyle BO\) разбивает угол \(\displaystyle \color{blue}{ABC}\) на два угла \(\displaystyle \color{green}{OBA}\) и \(\displaystyle \color{red}{OBC}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \angle \color{blue}{ABC}=\angle \color{green}{OBA}+\angle \color{red}{OBC}{\small .}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \angle \color{red}{OBC}=\angle \color{blue}{ABC}-\angle \color{green}{OBA}{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle \angle \color{blue}{ABC}=\color{blue}{58^{\circ}}{\small }\) и \(\displaystyle \angle \color{green}{OBA}=\color{green}{25^{\circ}}{\small ,}\)
\(\displaystyle \angle \color{red}{OBC}=\angle \color{blue}{ABC}-\angle \color{green}{OBA}=\color{blue}{58^{\circ}}-\color{green}{25^{\circ}}=\color{red}{33^{\circ}}{\small .}\)
Получаем
\(\displaystyle \angle BCO=\angle \color{red}{OBC}=\color{red}{33^{\circ}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 33 {\small .}\)