Треугольник \(\displaystyle ABC{\small }\) вписан в окружность с центром в точке \(\displaystyle O{\small .}\) Точки \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle C\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(\displaystyle AB{\small .}\) Найдите угол \(\displaystyle AOB{\small ,}\) если угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 58^\circ{\small .}\) Ответ дайте в градусах.
По условию, треугольник \(\displaystyle ABC{\small }\) вписан в окружность с центром в точке \(\displaystyle O{\small ,}\) точки \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle C\) лежат в одной полуплоскости относительно прямой \(\displaystyle AB{\small ,}\) угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 58^\circ{\small .}\) Требуется найти угол \(\displaystyle AOB{\small .}\)
По теореме о вписанном угле
Теорема о вписанном угле
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
\(\displaystyle \angle \color{red}{ACB}=\frac{1}{2}\angle \color{green}{AOB}{\small .} \)
получаем:
\(\displaystyle \angle {ACB}=\frac{1}{2}\angle {AOB}{\small .} \)
Так как угол \(\displaystyle ACB\) равен \(\displaystyle 58^\circ{\small ,}\) то
\(\displaystyle 58^\circ=\frac{1}{2}\angle {AOB}{\small ,} \)
\(\displaystyle \angle {AOB}=2\cdot 58^\circ=116^\circ{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 116 {\small .}\)