На координатной прямой отмечены точки \(\displaystyle A{\small ,}\) \(\displaystyle B{\small ,}\) \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle D{\small .}\)
Каждой точке соответствует одно из чисел в правом столбце.
| \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle {\bf 1)}\) \(\displaystyle \sqrt{15}+\sqrt{3}\) |
| \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) \(\displaystyle \sqrt{15}:\sqrt{3}\) |
| \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) \(\displaystyle \sqrt{15}-2\sqrt{3}\) |
| \(\displaystyle D\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) \(\displaystyle (\sqrt{3})^3+1\) |
Определите соответствие:
| \(\displaystyle {\bf 1)}\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) |
По свойствам корней \(\displaystyle \sqrt{15}:\sqrt{3}=\sqrt{\frac{15}{3}}=\sqrt{5}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \sqrt{4}<\sqrt{5}<\sqrt{9}{\small ,}\) то:
\(\displaystyle 2<\sqrt{5}<3{\small .}\)
Среди точек \(\displaystyle A{\small ,}\) \(\displaystyle B{\small ,}\) \(\displaystyle C{\small ,}\) \(\displaystyle D\) только точка \(\displaystyle B\) расположена в промежутке от \(\displaystyle 2\) до \(\displaystyle 3{\small .}\)
То есть числу \(\displaystyle {\bf 2)}\) соответствует точка \(\displaystyle B{\small .}\)
| \(\displaystyle {\bf 1)}\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) |
| \(\displaystyle B\) |
По свойствам корня: \(\displaystyle (\sqrt{3})^3=\sqrt{27}{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \sqrt{25}<\sqrt{27}<\sqrt{36}{\small ,}\) то:
\(\displaystyle 5<\sqrt{27}<6{\small .}\)
Прибавим \(\displaystyle 1\) ко всем частям неравенства:
\(\displaystyle 6<(\sqrt{3})^3+1<7{\small .}\)
Среди оставшихся точек \(\displaystyle A{\small ,}\) \(\displaystyle C{\small ,}\) \(\displaystyle D\) только точка \(\displaystyle D\) расположена в промежутке от \(\displaystyle 6\) до \(\displaystyle 7{\small .}\)
То есть числу \(\displaystyle {\bf 4)}\) соответствует точка \(\displaystyle D{\small .}\)
| \(\displaystyle {\bf 1)}\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) |
| \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle D\) |
Осталось два возможных варианта ответа: \(\displaystyle {\bf 1)}\)\(\displaystyle \sqrt{15}+\sqrt{3}\) и \(\displaystyle {\bf 3)}\)\(\displaystyle \sqrt{15}-2\sqrt{3}{\small .}\)
Кроме того, осталось две точки: \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Точка \(\displaystyle A\) расположена левее точки \(\displaystyle C{\small .}\) Значит, меньшее из чисел \(\displaystyle {\bf 1)}\) и \(\displaystyle {\bf 3)}\) соответствует точке \(\displaystyle {A}{\small ,}\) а большее – \(\displaystyle {C}{\small .}\)
Сравним числа \(\displaystyle \sqrt{15}+\sqrt{3}\) и \(\displaystyle \sqrt{15}-2\sqrt{3}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{15}}+\color{blue}{\sqrt{3}}~~\color{red}{?}~~\color{green}{\sqrt{15}}-\color{green}{2\sqrt{3}}{\small .}\)
Перенесем все слагаемые, содержащие \(\displaystyle \sqrt{3}{\small ,}\) влево, а содержащие\(\displaystyle \sqrt{15}\) – вправо:
\(\displaystyle \color{green}{2\sqrt{3}}+\color{blue}{\sqrt{3}}~~\color{red}{?}~~\color{green}{\sqrt{15}}-\color{blue}{\sqrt{15}}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3\sqrt{3}~~\color{red}{>}~~0{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle \sqrt{15}+\sqrt{3}\) больше числа \(\displaystyle \sqrt{15}-2\sqrt{3}{\small .}\)
Значит, числу \(\displaystyle {\bf 3)}\) соответствует точка \(\displaystyle A{\small ,}\) а числу \(\displaystyle {\bf 1)}\) – точка \(\displaystyle C{\small .}\)
| \(\displaystyle {\bf 1)}\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) |
| \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle D\) |