Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит.
\(\displaystyle A)~\sqrt{5}+\sqrt{2}\) | \(\displaystyle {\bf 1)}\) \(\displaystyle [0;1]\) |
| \(\displaystyle B)~3\sqrt{5}:\sqrt{2}\) | \(\displaystyle {\bf 2)}\) \(\displaystyle [1;2]\) |
| \(\displaystyle C)~\sqrt{5}-\sqrt{2}\) | \(\displaystyle {\bf 3)}\) \(\displaystyle [3;4]\) |
| \(\displaystyle D)~(\sqrt{2})^{3}-1\) | \(\displaystyle {\bf 4)}\) \(\displaystyle [4;5]\) |
Определите, отрезку с каким номером соответствует число \(\displaystyle B{\small :}\)
| \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle D\) |
По свойствам корней \(\displaystyle 3\sqrt{5}:\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 5}:\sqrt{2}=\sqrt{\frac{45}{2}}{\small .}\)
Определим, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle \frac{45}{2}{\small .}\) Так как \(\displaystyle \frac{45}{2}=22\frac{1}{2}\small,\) то получаем:
\(\displaystyle 16<\frac{45}{2}<25{\small ,}\)
\(\displaystyle 4^2<\frac{45}{2}<5^2{{\small .}}\)
Возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:
\(\displaystyle 4<\sqrt{\frac{45}{2}}<5{\small .}\)
Получили, что \(\displaystyle \sqrt{\frac{45}{2}}\in[4;5]{\small .}\)
То есть числу \(\displaystyle B\) соответствует вариант ответа \(\displaystyle {\bf 4)}{\small .}\)
| \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle D\) |
| \(\displaystyle {\bf 4}\) |
По свойствам корня \(\displaystyle (\sqrt{2})^3-1=\sqrt{2^3}-1=\sqrt{8}-1{\small .}\)
Определим, между какими целыми числами расположен \(\displaystyle \sqrt{8}{\small ,}\) а затем вычтем из этих чисел \(\displaystyle 1{\small .}\)
Найдем, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 8{\small :}\)
\(\displaystyle 4<8<9{\small ,}\)
\(\displaystyle 2^2<8<3^2{{\small .}}\)
Возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:
\(\displaystyle 2<\sqrt{8}<3{\small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2<(\sqrt{2})^3<3{\small .}\)
Вычтитая из каждой части двойного неравенства \(\displaystyle 1{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 2-1<(\sqrt{2})^3-1<3-1{\small ,}\)
\(\displaystyle 1<(\sqrt{2})^3-1<2{\small .}\)
Получили, что \(\displaystyle (\sqrt{2})^3-1\in[1;2]{\small .}\)
То есть числу \(\displaystyle D\) соответствует вариант ответа \(\displaystyle {\bf 2)}{\small .}\)
| \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle D\) |
| \(\displaystyle {\bf 4}\) | \(\displaystyle {\bf 2}\) |
Осталось два возможных варианта ответа: \(\displaystyle {\bf 1)}\)\(\displaystyle [0;1]\) и \(\displaystyle {\bf 3)}\)\(\displaystyle [3;4]{\small .}\)
Тогда меньшее из чисел \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) соответствует варианту ответа \(\displaystyle {\bf 1)}{\small ,}\) а большее – \(\displaystyle {\bf 3)}{\small .}\)
Сравним числа \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{2}\) и \(\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{5}}+\color{blue}{\sqrt{2}}~~\color{red}?~~\color{green}{\sqrt{5}}-\color{green}{\sqrt{2}}{\small .}\)
Перенесем все слагаемые, содержащие \(\displaystyle \sqrt{5}{\small ,}\) влево, а содержащие \(\displaystyle \sqrt{2}\) – вправо:
\(\displaystyle \color{blue}{\sqrt{5}}-\color{green}{\sqrt{5}}~~\color{red}?~~-\color{green}{\sqrt{2}}-\color{blue}{\sqrt{2}}{\small ,}\)
\(\displaystyle 0~~\color{red}{>}~~-2\sqrt{2}{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle \sqrt{5}+\sqrt{2}\) больше числа \(\displaystyle \sqrt{5}-\sqrt{2}{\small .}\)
Значит, варианту ответа \(\displaystyle {\bf 3)}\) соответствует \(\displaystyle A{\small ,}\) а варианту ответа \(\displaystyle {\bf 1)}\) соответствует \(\displaystyle C{\small .}\)
| \(\displaystyle A\) | \(\displaystyle B\) | \(\displaystyle C\) | \(\displaystyle D\) |
| \(\displaystyle {\bf 3}\) | \(\displaystyle {\bf 4}\) | \(\displaystyle {\bf 1}\) | \(\displaystyle {\bf 2}\) |