Определите, между какими двумя последовательными целыми числами расположено число \(\displaystyle (\sqrt{6})^3-9{\small :}\)
По свойствам корня \(\displaystyle (\sqrt{6})^3-9=\sqrt{6^3}-9=\sqrt{216}-9{\small .}\)
Определим, между какими целыми числами расположен \(\displaystyle \sqrt{216}{\small ,}\) а затем вычтем из этих чисел \(\displaystyle 9{\small .}\)
Найдем, между квадратами каких чисел находится число \(\displaystyle 216{\small .}\)
Для этого выпишем квадраты натуральных чисел от \(\displaystyle 10\) до \(\displaystyle 19{\small :}\)
| \(\displaystyle n\) | \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 11\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 13\) | \(\displaystyle 14\) | \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 17\) | \(\displaystyle 18\) | \(\displaystyle 19\) |
| \(\displaystyle n^2\) | \(\displaystyle 100\) | \(\displaystyle 121\) | \(\displaystyle 144\) | \(\displaystyle 169\) | \(\displaystyle 256\) | \(\displaystyle 225\) | \(\displaystyle 256\) | \(\displaystyle 289\) | \(\displaystyle 324\) | \(\displaystyle 361\) |
Получаем:
\(\displaystyle 196<216<225{\small ,}\)
\(\displaystyle 14^2<216<15^2{{\small .}}\)
Возьмем корень из всех частей этого двойного неравенства:
\(\displaystyle \sqrt{14^2}<\sqrt{216}<\sqrt{15^2}{\small ,}\)
\(\displaystyle 14<\sqrt{216}<15{\small .}\)
То есть
\(\displaystyle 14<(\sqrt{6})^3<15{\small .}\)
Вычитая из каждой части двойного неравенства \(\displaystyle 9{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 14-9<(\sqrt{6})^3-9<15-9{\small ,}\)
\(\displaystyle 5<(\sqrt{6})^3-9<6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 5<(\sqrt{6})^3-9<6{\small .}\)