Теория: 06 Объем

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

• Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle N\) лежат на рёбрах основания \(\displaystyle ABCD{\small,}\) то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle N\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle AN\) лежит в плоскости сечения \(\displaystyle AMN{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle DC\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельна прямой \(\displaystyle AN{\small.}\)

Тогда прямая \(\displaystyle AN\) пересекает прямую \(\displaystyle DC\) в точке \(\displaystyle P{\small.}\)

Точка \(\displaystyle P\) принадлежит плоскости сечения \(\displaystyle AMN{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle SDC{\small:}\)

• Точка \(\displaystyle P\) лежит на прямой \(\displaystyle DC{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle SDC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребре \(\displaystyle SD{\small,}\) то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle SDC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle MP\) лежит в плоскости \(\displaystyle SDC{\small.}\)
• Точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle P\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle MP\) лежит в плоскости сечения \(\displaystyle AMN{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle SC\) лежит в плоскости \(\displaystyle SDC\) и не параллельна прямой \(\displaystyle MP{\small.}\)

Тогда прямая \(\displaystyle MP\) пересекает прямую \(\displaystyle SC\) в точке \(\displaystyle K{\small.}\)

Точка \(\displaystyle K\) принадлежит плоскости сечения \(\displaystyle AMN{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Соединим отрезками точки пересечения рёбер пирамиды и плоскости сечения \(\displaystyle AMN {\small.}\)

\(\displaystyle ANKM\) – сечение.

По условию задачи \(\displaystyle AD=9{\small,}\) \(\displaystyle BC=4\) и \(\displaystyle BN:NC=1:3 {\small.}\)

Значит, \(\displaystyle NC=\frac{3}{4}\cdot BC=\frac{3}{4}\cdot 4=3{\small.}\)

• \(\displaystyle SM:MD=5:3\) (по условию). Значит, \(\displaystyle SM=\frac{5}{3} \cdot MD{\small.}\)
• \(\displaystyle ML:MD=1:3{\small.}\) Значит, \(\displaystyle ML=\frac{1}{3} \cdot MD{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle SM:ML=\bigg(\frac{5}{3} \cdot MD \bigg):\bigg(\frac{1}{3} \cdot MD \bigg)=5:1{\small.}\)

Воспользуемся формулой объёма пирамиды.

Получаем

\(\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD} \cdot SO { \small ,}\\ \)

\(\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{AD+BC}{2} \cdot CH \cdot SO { \small .}\\ \)

\(\displaystyle V_{SABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9+4}{2} \cdot r \cdot h= \frac{13\cdot r \cdot h}{6}{ \small .} \)

Выразим \(\displaystyle PR\) через \(\displaystyle r{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle PR:CH=3:2{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle PR=\frac{3}{2} \cdot CH=\frac{3}{2} \cdot r{\small.}\)

Выразим \(\displaystyle MT\) через \(\displaystyle h{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle MT:SO=3:8{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle MT=\frac{3}{8} \cdot SO=\frac{3}{8} \cdot h{\small.}\)

Найдём объём пирамиды \(\displaystyle MAPD{\small.}\)

Так как \(\displaystyle AD=9{\small,}\) \(\displaystyle PR=\frac{3}{2} \cdot r{\small,}\) \(\displaystyle MT=\frac{3}{8} \cdot h{\small,}\) то

\(\displaystyle V_{MAPD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot AD \cdot PR \cdot MT { \small ,}\\ \)

\(\displaystyle V_{MAPD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3}{2} \cdot r \cdot \frac{3}{8} \cdot h=\frac{27\cdot r \cdot h}{32} { \small .} \)

Выразим \(\displaystyle PE\) через \(\displaystyle r{\small.}\)

Так как \(\displaystyle BC \parallel AD{\small,}\) то \(\displaystyle \angle PCB= \angle CDA\) как соответственные углы при секущей \(\displaystyle PD{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle PE:CH=1:2{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle PE=\frac{1}{2} \cdot CH=\frac{1}{2} \cdot r{\small.}\)

Выразим \(\displaystyle KL\) через \(\displaystyle h{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle KL:SO=1:6{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle KL=\frac{1}{6} \cdot SO=\frac{1}{6} \cdot h{\small.}\)

Найдём объём пирамиды \(\displaystyle KNPC{\small.}\)

Так как \(\displaystyle NC=3{\small,}\) \(\displaystyle PE=\frac{1}{2} \cdot r {\small,}\) \(\displaystyle KL=\frac{1}{6} \cdot h{\small,}\) то

\(\displaystyle V_{KNPC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot NC \cdot PE \cdot KL { \small ,}\\ \)

\(\displaystyle V_{KNPC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot \frac{1}{6} \cdot h=\frac{r \cdot h}{24} { \small .} \)

\(\displaystyle V_1=V_{MAPD}-V_{KNPC} {\small,}\\ \)

\(\displaystyle V_1=\frac{27\cdot r \cdot h}{32}-\frac{r \cdot h}{24}=\frac{81 \cdot r \cdot h-4 \cdot r \cdot h}{96} =\frac{77 \cdot r \cdot h}{96} {\small.}\)

Для того, чтобы найти  объём \(\displaystyle V_2\) многогранника, содержащего вершину \(\displaystyle S{\small,}\) вычтем из объёма пирамиды \(\displaystyle SABCD\) объём \(\displaystyle V_1\) многогранника, содержащего вершину \(\displaystyle D{\small.}\) То есть

\(\displaystyle V_2=V_{SABCD}-V_1{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle V_2=\frac{13\cdot r \cdot h}{6}-\frac{77 \cdot r \cdot h}{96}=\frac{208 \cdot r \cdot h-77 \cdot r \cdot h}{96}=\frac{131 \cdot r \cdot h}{96}{\small.}\)