01Математика - Профиль - Объем

Определение

Следом сечения называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Чтобы построить след сечения, достаточно знать две его точки, то есть точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Если такой след сечения найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Плоскость \(\displaystyle MNK\) обозначим буквой \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle BB_1C_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) лежат на ребрах грани \(\displaystyle BB_1C_1C\), то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle NK\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle CC_1\) лежат в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle NK\) пересекает прямую \(\displaystyle CB\) в точке \(\displaystyle Z{\small,}\) прямую \(\displaystyle CC_1\) – в точке \(\displaystyle O{\small.}\)

Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle O\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

Точкa \(\displaystyle Z\) лежит на прямой \(\displaystyle CB{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребрe \(\displaystyle AB\) грани \(\displaystyle ABCD\), то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle M\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle ZM\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) лежат в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle ZM\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small,}\) прямую \(\displaystyle CD\) – в точке \(\displaystyle V{\small.}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle V\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DCC_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) лежат на прямых \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle CC_1\) соответственно, то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle VO\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle DD_1\) и \(\displaystyle C_1D_1 \) лежат в плоскости \(\displaystyle DCC_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle VO\) пересекает прямую \(\displaystyle DD_1\) в точке \(\displaystyle P{\small,}\) прямую \(\displaystyle C_1D_1\) – в точке \(\displaystyle L{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle L\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим отрезками точки пересечения ребер куба и плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle MNKLPF\) - сечение куба плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Замечание / комментарий

Так как точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle M\) – середины рёбер \(\displaystyle B_1C_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle AB\) соответственно, то \(\displaystyle B_1K=BZ=AF{\small,}\) поэтому \(\displaystyle F\) – середина ребра \(\displaystyle AD{\small.}\)

Плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle AA_1D_1\) и \(\displaystyle BB_1C_1\) по параллельным прямым, тогда

\(\displaystyle FP \parallel NK\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle P\)– середина ребра \(\displaystyle DD_1{\small.}\)

Аналогично, плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle ABC{\small,}\) тогда

\(\displaystyle KL \parallel MF\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle L\)– середина ребра \(\displaystyle C_1D_1{\small.}\)

Таким образом, сечение куба данной в условии плоскостью является правильным шестиугольником \(\displaystyle MNKLPF{\small,}\) где точки \(\displaystyle F{\small,}\) \(\displaystyle P \) и \(\displaystyle L\) – середины рёбер \(\displaystyle AD{\small,}\) \(\displaystyle DD_1 \) и \(\displaystyle C_1D_1\) соответственно, точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N \) и \(\displaystyle K\) заданы в условии.

Заметим, что прямоугольные треугольники \(\displaystyle MCB{\small,}\) \(\displaystyle NCB{\small,}\) \(\displaystyle KCC_1{\small,}\) \(\displaystyle LCC_1{\small,}\) \(\displaystyle PCD \) и \(\displaystyle ACD\) равны по двум катетам: у каждого из этих треугольников один катет равен ребру куба, а второй катет равен половине ребра куба. Значит, гипотенузы данных треугольников тоже равны. То есть

\(\displaystyle CM=CN=CK=CL=CP=CF{\small.}\)

Следовательно, пирамида \(\displaystyle CMNKLPF\) – правильная (так как в основании лежит правильный шестиугольник и боковые рёбра пирамиды равны).

Правило

Объём пирамиды

Объём пирамиды \(\displaystyle V\) равен одной трети произведения площади основания на высоту.

\(\displaystyle V=\frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h { \small ,} \)

где \(\displaystyle S_{осн} \) – площадь основания,

\(\displaystyle h\) – высота пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник \(\displaystyle MNKLPF{\small.}\)

Найдём его площадь.

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть правильных треугольников. Значит, площадь правильного шестиугольника со стороной \(\displaystyle a\) равна сумме площадей шести правильных треугольников со стороной \(\displaystyle a{\small.}\)

Правило

Площадь равностороннего треугольника

Площадь \(\displaystyle S\) равностороннего треугольника равна

\(\displaystyle S_{\triangle}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}{ \small ,} \)

где \(\displaystyle a \) – сторона треугольника.

Тогда площадь правильного шестиугольника равна

\(\displaystyle S=6\cdot S_{\triangle}=6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2{\small,}\)

где \(\displaystyle a \) – сторона правильного шестиугольника.

Найдем длину стороны шестиугольника \(\displaystyle MNKLPF{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle NB_1K{\small.}\)

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) – середины рёбер \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle B_1C_1\) соответственно.

По условию длина ребра куба равна \(\displaystyle 2{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle B_1N=B_1K=1{\small.}\)

По теореме Пифагора

\(\displaystyle NK^2=B_1N^2+B_1K^2 {\small,}\)

\(\displaystyle NK^2=1^2+1^2 =2{\small,}\)

\(\displaystyle NK=\sqrt{2} {\small.}\)

То есть \(\displaystyle a=\sqrt{2}{\small.}\)

В результате площадь основания пирамиды равна:

\(\displaystyle S_{осн}=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \big(\sqrt{2}\big)^2=\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2=3\sqrt{3} {\small.}\)

В правильной пирамиде вершина проецируется в точку пересечения диагоналей основания.

Пусть \(\displaystyle H\) – точка пересечения диагоналей основания пирамиды.

Тогда отрезок \(\displaystyle CH\) – высота пирамиды \(\displaystyle CMNKLPF{\small.}\)

В правильном шестиугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка \(\displaystyle H\) – середина отрезка \(\displaystyle NP{\small.}\)

Рассмотрим прямоугольник \(\displaystyle BB_1D_1D{\small:}\)

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle P\) – середины сторон \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle DD_1\) соответственно.

Отрезки \(\displaystyle NP\) и \(\displaystyle B_1D\) точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно,

точка \(\displaystyle H\) – середина отрезка \(\displaystyle B_1D\).

Значит, \(\displaystyle H\) – середина диагонали \(\displaystyle B_1D\) куба \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1{\small.}\)

Так как все диагонали куба пересекаются в одной точке, и точкой пересечения делятся пополам, то

\(\displaystyle H\) – середина диагонали \(\displaystyle A_1C{\small.}\) Следовательно,

\(\displaystyle CH=\frac{1}{2} \cdot A_1C{\small.}\)

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle A_1AC\) по теореме Пифагора:

\(\displaystyle A_1C^2=AA_1^2+AC^2{\small.}\)

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\) по теореме Пифагора:

\(\displaystyle AC^2=AD^2+CD^2{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle A_1C^2=AA_1^2+AD^2+CD^2{\small.}\)

Так как \(\displaystyle AA_1=AD=CD=2{\small,}\) то

\(\displaystyle A_1C^2=2^2+2^2+2^2=12{\small,}\)

\(\displaystyle A_1C=\sqrt{12}=2\sqrt{3}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle CH=\frac{1}{2} \cdot A_1C=\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3}{\small.}\)

То есть \(\displaystyle h=\sqrt{3}{\small.}\)

Теория: 06 Объем

Объём пирамиды

Площадь равностороннего треугольника