Теория: 06 Объем

Пусть точка \(\displaystyle O\) – центр треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\) тогда \(\displaystyle SO\)– высота пирамиды.

Так как прямая \(\displaystyle SO\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle ABC\) и плоскость \(\displaystyle \alpha\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle ABC\) (по условию), то прямая \(\displaystyle SO\) параллельная плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\) Поэтому линии пересечения плоскости \(\displaystyle \alpha\) с плоскостями \(\displaystyle ASO\) и \(\displaystyle BSO\) параллельны прямой \(\displaystyle SO{\small.}\)

В плоскости \(\displaystyle BSO\) строим прямую \(\displaystyle MP\) параллельно прямой \(\displaystyle SO{\small.}\) При этом \(\displaystyle P\) – точка пересечения \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle OB{\small.}\)

В плоскости \(\displaystyle ASO\) строим прямую \(\displaystyle NQ\) параллельно прямой \(\displaystyle SO{\small.}\) При этом \(\displaystyle Q\) – точка пересечения \(\displaystyle NQ\) и \(\displaystyle OA{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q\) лежат в плоскости \(\displaystyle \alpha\) и в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает плоскость \(\displaystyle ABC\) по прямой \(\displaystyle PQ{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle L\) и \(\displaystyle T\) – точки пересечения прямой \(\displaystyle PQ\) с рёбрами \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AC{\small.}\)

Соединим отрезками точки \(\displaystyle L{\small,}\) \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle T{\small.}\)

\(\displaystyle LMNT\)– сечение пирамиды \(\displaystyle SABC\) плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle SOB{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle SB\) и \(\displaystyle MP \parallel SO{\small,}\) то точка \(\displaystyle P\)– середина отрезка \(\displaystyle OB{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle SOA{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle N\) – середина отрезка \(\displaystyle SA\) и \(\displaystyle NQ \parallel SO{\small,}\) то точка \(\displaystyle Q\)– середина отрезка \(\displaystyle OA{\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AOB{\small.}\)

\(\displaystyle PQ\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle AOB{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle K\)– середина отрезка \(\displaystyle OE{\small.}\)

Следовательно, 

\(\displaystyle KE=OK=\frac{1}{2} \cdot OE{\small.}\)

Точка \(\displaystyle O\)– центр правильного треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle CO=2 \cdot OE{\small.}\)

\(\displaystyle CK=CO+OK{\small,}\)

\(\displaystyle CK=2 \cdot OE+\frac{1}{2} \cdot OE{\small,}\)

\(\displaystyle CK=\frac{5}{2} \cdot OE{\small.}\)

Из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ACE\) по теореме Пифагора

\(\displaystyle AC^2=CE^2+AE^2{\small,}\)

\(\displaystyle CE^2=AC^2-AE^2{\small,}\)

\(\displaystyle CE^2=18^2-9^2=9^2 \cdot (2^2-1)=9^2 \cdot 3{\small,}\)

\(\displaystyle CE=9 \sqrt{3}{\small.}\)

Рассмотрим \(\displaystyle \triangle ASB{\small.}\)

Отрезок \(\displaystyle MN\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ASB{\small,}\) поэтому \(\displaystyle MN \parallel AB\) и \(\displaystyle MN=\frac{1}{2} \cdot AB=9{\small.}\)

Рассмотрим \(\displaystyle \triangle ACB{\small.}\)

\(\displaystyle LT\parallel AB\) и \(\displaystyle LT=\frac{5}{6} \cdot AB=\frac{5}{6} \cdot 18=15{\small.}\)

Так как прямая \(\displaystyle MP\) параллельна высоте пирамиды \(\displaystyle SO{\small,}\) то она перпендикулярна плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle MP\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) То есть \(\displaystyle MP \perp LT{\small.}\)

Значит, отрезок \(\displaystyle MP\) – высота трапеции \(\displaystyle LMNT{\small.}\) 

Так как \(\displaystyle MP\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle BSO{\small,}\) то

\(\displaystyle MP=\frac{1}{2} \cdot SO{\small.}\)