Skip to main content

Теория: 06 Объем

Задание

В правильной треугольной пирамиде \(\displaystyle SABC\) с вершиной \(\displaystyle S\) и основанием \(\displaystyle ABC\) сторона основания равна \(\displaystyle 9{\small,}\) а высота равна \(\displaystyle 3{\small.}\) На рёбрах \(\displaystyle AB{\small,}\) \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AS\) отмечены соответственно точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) такие, что \(\displaystyle AM=AN=AS{\small,}\) \(\displaystyle AK=4{\small.}\)

\(\displaystyle а)\) Докажите, что плоскости \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle SBC\) параллельны.

\(\displaystyle б)\) Найдите объём пирамиды \(\displaystyle KSBC{\small.}\)

\frac{27\sqrt{3}}{4}
Решение

По условию задачи выполним чертёж.

\(\displaystyle SABC\) – правильная треугольная пирамида,

\(\displaystyle AB=AC=BC=9{\small,}\)

\(\displaystyle O\) – центр правильного треугольника \(\displaystyle ABC{\small,}\)

\(\displaystyle SO=3\) – высота пирамиды,

\(\displaystyle AM=AN=AS{\small,}\)

\(\displaystyle AK=4{\small.}\)

 

\(\displaystyle а)\) Требуется доказать, что плоскости \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle SBC\) параллельны.

Правило

Признак параллельности двух плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Найдём длину бокового ребра пирамиды \(\displaystyle SABC{\small.}\)

\(\displaystyle SA=SB=SC=6{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle MN\) параллельна прямой \(\displaystyle BC{\small.}\)

Прямая \(\displaystyle MK\) параллельна прямой \(\displaystyle BS{\small.}\)

Так как \(\displaystyle MN \parallel BC\) и \(\displaystyle MK\parallel BS {\small,}\) то по признаку параллельности двух плоскостей плоскости \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle SBC\) параллельны.

Что и требовалось доказать.

 

 

\(\displaystyle б)\) Требуется найти объём пирамиды \(\displaystyle KSBC{\small.}\)

Так как плоскости \(\displaystyle MNK \) и \(\displaystyle SBC \) параллельны, то расстояние от точки \(\displaystyle K\) до плоскости \(\displaystyle SBC\) равно расстоянию от любой другой точки плоскости \(\displaystyle MNK\) до плоскости \(\displaystyle SBC{\small.}\) Все эти расстояния равны расстоянию между плоскостями, то есть равны между собой. Точка \(\displaystyle O\) лежит в плоскости \(\displaystyle MNK{\small.}\) Следовательно, объём пирамиды \(\displaystyle KSBC\) будет равен объёму пирамиды \(\displaystyle OSBC{\small.}\)

Найдём объём пирамиды \(\displaystyle OSBC{\small.}\)

Пусть \(\displaystyle \triangle BOC\) – основание пирамиды \(\displaystyle OSBC{\small,}\) точка \(\displaystyle S\) – вершина.

Тогда \(\displaystyle SO=3\)– высота пирамиды  \(\displaystyle OSBC{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle V_{OSBC}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BOC} \cdot SO{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle BOC}=\frac{27\sqrt{3}}{4}{\small.}\)

Получаем

\(\displaystyle V_{OSBC}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BOC} \cdot SO=\frac{1}{3} \cdot \frac{27\sqrt{3}}{4} \cdot 3=\frac{27\sqrt{3}}{4} {\small.}\\ \)

То есть объём пирамиды  \(\displaystyle KSBC\) равен \(\displaystyle \frac{27\sqrt{3}}{4} {\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle б)\) \(\displaystyle \frac{27\sqrt{3}}{4} {\small.}\)