Skip to main content

Теория: 03 Углы

Задание

В правильной четырёхугольной призме \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) стороны основания равны \(\displaystyle 4{\small,}\) а боковые рёбра равны \(\displaystyle 12{\small.}\) Точка \(\displaystyle O\) – центр основания \(\displaystyle ABCD\) призмы.

\(\displaystyle а)\) Докажите, что прямые \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle B_1O\) перпендикулярны.

\(\displaystyle б)\) Найдите синус угла между прямой \(\displaystyle AB_1\) и плоскостью \(\displaystyle BDD_1{\small.}\)

\frac{\sqrt{5}}{10}
Решение

По условию задачи выполним чертёж.

\(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильная призма,

\(\displaystyle ABCD\) – квадрат со стороной \(\displaystyle 4{\small,}\)

\(\displaystyle CC_1=12\) – высота призмы,

\(\displaystyle O\) – точка пересечения диагоналей \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD \) основания \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

\(\displaystyle а) \) Требуется доказать, что прямые \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle B_1O \) перпендикулярны.

Доказательство:

Способ \(\displaystyle 1\)

  • По определению правильной призмы ребро \(\displaystyle B_1B\) перпендикулярно плоскости основания \(\displaystyle ABCD{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle BO\) – проекция \(\displaystyle B_1O\) на плоскость \(\displaystyle ABC{\small.}\)
  • Диагонали квадрата перпендикулярны. Значит, \(\displaystyle BO \perp AC {\small.}\)

По теореме о трёх перпендикулярах \(\displaystyle B_1O \perp AC {\small.}\)

 

Способ \(\displaystyle 2\)

Прямоугольные треугольники \(\displaystyle ABB_1\) и \(\displaystyle CBB_1\) равны по двум катетам:

  • \(\displaystyle AB=CB{\small,}\)
  • \(\displaystyle B_1B\) – общий.

Следовательно, гипотенузы данных треугольников равны:

\(\displaystyle AB_1=CB_1{\small.}\)

 

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AB_1C{\small:}\)

  • \(\displaystyle AB_1=CB_1{\small,}\)
  • \(\displaystyle O\) – середина стороны \(\displaystyle AC{\small.}\)

Значит, \(\displaystyle B_1O\) – медиана равнобедренного треугольника \(\displaystyle AB_1C{\small.}\)

По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой данного треугольника. Следовательно,

\(\displaystyle B_1O \perp AC{\small.}\)

 

Способ \(\displaystyle 3\)

Правило

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости:

Если

  • \(\displaystyle a \perp l{\small,}\) \(\displaystyle a \perp m{\small,}\)
  • \(\displaystyle l \in \alpha{\small,}\) \(\displaystyle m \in \alpha{\small,}\) \(\displaystyle l \cap m=(\cdot)O {\small,}\)

то \(\displaystyle a \perp \alpha{\small.}\)

Так как \(\displaystyle AO \perp BD\) и \(\displaystyle AO \perp BB_1{\small,}\) то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая \(\displaystyle AO\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle BDD_1{\small.}\) Значит, \(\displaystyle AO\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(\displaystyle BDD_1{\small.}\) Прямая \(\displaystyle B_1O\) лежит в плоскости \(\displaystyle BDD_1{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle B_1O \perp AO{\small.}\) Значит,

\(\displaystyle B_1O \perp AC{\small.}\)

Утверждение доказано.

\(\displaystyle б)\) Требуется найти синус угла между прямой \(\displaystyle AB_1\) и плоскостью \(\displaystyle BDD_1{\small.}\)

Определение

Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Спроецируем \(\displaystyle AB_1\) на плоскость \(\displaystyle BDD_1{\small.}\)

 

По доказанному в пункте \(\displaystyle а) \)Способ \(\displaystyle 3\) известно, что прямая \(\displaystyle AO\) перпендикулярна плоскости \(\displaystyle BDD_1{\small.}\) Поэтому проекцией прямой \(\displaystyle AB_1\) на плоскость \(\displaystyle BDD_1 \) является прямая \(\displaystyle OB_1{\small.}\)

Следовательно, искомый угол между прямой \(\displaystyle AB_1\) и плоскостью \(\displaystyle BDD_1\) равен углу \(\displaystyle AB_1O{\small.}\) Нужно найти \(\displaystyle \sin {\angle AB_1O} {\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle AB_1O{\small.}\)

Так как \(\displaystyle B_1O \perp AO{\small,}\) то \(\displaystyle \triangle AB_1O \) – прямоугольный. Тогда

\(\displaystyle \sin {\angle AB_1O}= \frac{AO}{AB_1} {\small.}\)

\(\displaystyle AO=2\sqrt{2}{\small.}\)

\(\displaystyle AB_1=4\sqrt{10}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \sin {\angle AB_1O}= \frac{AO}{AB_1}= \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{10}}= \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{10}{\small.}\)