01Математика - Профиль - Углы

Определение

Следом сечения называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Чтобы построить след сечения, достаточно знать две его точки, то есть точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Если такой след сечения найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Плоскость \(\displaystyle MNK\) обозначим буквой \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle BB_1C_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) лежат на ребрах грани \(\displaystyle BB_1C_1C\), то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle NK\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle CC_1\) лежат в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle NK\) пересекает прямую \(\displaystyle CB\) в точке \(\displaystyle Z{\small,}\) прямую \(\displaystyle CC_1\) – в точке \(\displaystyle O{\small.}\)

Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle O\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

Точкa \(\displaystyle Z\) лежит на прямой \(\displaystyle CB{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребрe \(\displaystyle AB\) грани \(\displaystyle ABCD\), то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle M\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle ZM\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) лежат в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle ZM\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small,}\) прямую \(\displaystyle CD\) – в точке \(\displaystyle V{\small.}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle V\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DCC_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) лежат на прямых \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle CC_1\) соответственно, то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle VO\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle DD_1\) и \(\displaystyle C_1D_1 \) лежат в плоскости \(\displaystyle DCC_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle VO\) пересекает прямую \(\displaystyle DD_1\) в точке \(\displaystyle P{\small,}\) прямую \(\displaystyle C_1D_1\) – в точке \(\displaystyle L{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle L\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим отрезками точки пересечения ребер куба и плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle MNKLPF\) - сечение куба плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Замечание / комментарий

Так как точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle M\) – середины рёбер \(\displaystyle B_1C_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle AB\) соответственно, то \(\displaystyle B_1K=BZ=AF{\small,}\) поэтому \(\displaystyle F\) – середина ребра \(\displaystyle AD{\small.}\)

Плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle AA_1D_1\) и \(\displaystyle BB_1C_1\) по параллельным прямым, тогда

\(\displaystyle FP \parallel NK\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle P\)– середина ребра \(\displaystyle DD_1{\small.}\)

Аналогично, плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle ABC{\small,}\) тогда

\(\displaystyle KL \parallel MF\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle L\)– середина ребра \(\displaystyle C_1D_1{\small.}\)

Таким образом, сечение куба данной в условии плоскостью является правильным шестиугольником \(\displaystyle MNKLPF{\small,}\) где точки \(\displaystyle F{\small,}\) \(\displaystyle P{\small,}\) \(\displaystyle L\) – середины рёбер \(\displaystyle AD{\small,}\) \(\displaystyle DD_1{\small,}\) \(\displaystyle C_1D_1\) соответственно \(\displaystyle (\)точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N{\small,}\) \(\displaystyle K\) заданы в условии\(\displaystyle )\).

Теория: 03 Углы