01Математика - Профиль - Углы

Определение

Следом сечения называется прямая, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой из граней многогранника.

Чтобы построить след сечения, достаточно знать две его точки, то есть точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.

Если такой след сечения найден, то точки его пересечения с соответствующими рёбрами многогранника и будут вершинами искомого сечения.

Плоскость \(\displaystyle MNK\) обозначим буквой \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 1)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle BB_1C_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) лежат на ребрах грани \(\displaystyle BB_1C_1C\), то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle NK\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle NK\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle CB\) и \(\displaystyle CC_1\) лежат в плоскости \(\displaystyle BB_1C_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle NK\) пересекает прямую \(\displaystyle CB\) в точке \(\displaystyle Z{\small,}\) прямую \(\displaystyle CC_1\) – в точке \(\displaystyle O{\small.}\)

Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle O\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 2)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle ABC{\small:}\)

Точкa \(\displaystyle Z\) лежит на прямой \(\displaystyle CB{\small,}\) значит, принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Точка \(\displaystyle M\) лежит на ребрe \(\displaystyle AB\) грани \(\displaystyle ABCD\), то есть принадлежит плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)
Точки \(\displaystyle Z\) и \(\displaystyle M\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle ZM\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle ZM\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CD\) лежат в плоскости \(\displaystyle ABC\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle ZM\) пересекает прямую \(\displaystyle AD\) в точке \(\displaystyle F{\small,}\) прямую \(\displaystyle CD\) – в точке \(\displaystyle V{\small.}\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle V\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 3)\) Рассмотрим плоскость \(\displaystyle DCC_1{\small:}\)

Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) лежат на прямых \(\displaystyle CD\) и \(\displaystyle CC_1\) соответственно, то есть принадлежат плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\) Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle DCC_1{\small.}\)
Точки \(\displaystyle V\) и \(\displaystyle O\) принадлежат сечению. Значит, прямая \(\displaystyle VO\) лежит в плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Следовательно, \(\displaystyle VO\) – след сечения в плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Прямые \(\displaystyle DD_1\) и \(\displaystyle C_1D_1 \) лежат в плоскости \(\displaystyle DCC_1\) и не параллельны следу сечения.

Тогда прямая \(\displaystyle VO\) пересекает прямую \(\displaystyle DD_1\) в точке \(\displaystyle P{\small,}\) прямую \(\displaystyle C_1D_1\) – в точке \(\displaystyle L{\small.}\)

Точки \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle L\) принадлежат плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle 4)\) Соединим отрезками точки пересечения ребер куба и плоскости \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

\(\displaystyle MNKLPF\) - сечение куба плоскостью \(\displaystyle \alpha{\small.}\)

Замечание / комментарий

Так как точки \(\displaystyle K{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle M\) – середины рёбер \(\displaystyle B_1C_1{\small,}\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle AB\) соответственно, то \(\displaystyle B_1K=BZ=AF{\small,}\) поэтому \(\displaystyle F\) – середина ребра \(\displaystyle AD{\small.}\)

Плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle AA_1D_1\) и \(\displaystyle BB_1C_1\) по параллельным прямым, тогда

\(\displaystyle FP \parallel NK\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle P\)– середина ребра \(\displaystyle DD_1{\small.}\)

Аналогично, плоскость \(\displaystyle \alpha\) пересекает параллельные плоскости \(\displaystyle A_1B_1C_1\) и \(\displaystyle ABC{\small,}\) тогда

\(\displaystyle KL \parallel MF\) \(\displaystyle \Longrightarrow\) \(\displaystyle L\)– середина ребра \(\displaystyle C_1D_1{\small.}\)

Таким образом, сечение куба данной в условии плоскостью является правильным шестиугольником \(\displaystyle MNKLPF{\small,}\) где точки \(\displaystyle F{\small,}\) \(\displaystyle P \) и \(\displaystyle L\) – середины рёбер \(\displaystyle AD{\small,}\) \(\displaystyle DD_1 \) и \(\displaystyle C_1D_1\) соответственно, точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N \) и \(\displaystyle K\) заданы в условии.

Пусть \(\displaystyle \vec n\) – некоторый ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости \(\displaystyle MNK{\small,}\) а \(\displaystyle \vec m\) – некоторый ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) Тогда искомый угол \(\displaystyle \varphi\) между плоскостями \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle ABC\) равен углу между прямыми, содержащими векторы \(\displaystyle \vec n\) и\(\displaystyle \vec m{\small.}\)

Косинус угла \(\displaystyle \varphi\) можно найти из формулы:

\(\displaystyle \cos \varphi = \bigg| {\frac{\vec n \cdot \vec m}{|\vec n|\cdot|\vec m|}}\bigg|{\small,}\)

где \(\displaystyle \vec n \cdot \vec m\) – скалярное произведение векторов \(\displaystyle \vec n\) и \(\displaystyle \vec m{\small,}\)

\(\displaystyle |\vec n|\cdot|\vec m|\) – произведение длин векторов \(\displaystyle \vec n\) и \(\displaystyle \vec m{\small.}\)

Точки \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K\) имеют координаты:

\(\displaystyle M\bigg(\frac{1}{2}{\small;}\ 0{\small;}\ 0\bigg){\small,}\) \(\displaystyle N\bigg(0{\small;}\ 0{\small;}\ \frac{1}{2}\bigg){\small,}\) \(\displaystyle K\bigg(0{\small;}\ \frac{1}{2}{\small;}\ 1\bigg){\small.}\)

Подставляя в общий вид уравнения плоскости \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\) поочерёдно координаты точек \(\displaystyle M{\small,}\) \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle K{\small,}\) получим систему уравнений для определения коэффициентов \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b{\small,}\) \(\displaystyle c \) и \(\displaystyle d \) уравнения плоскости \(\displaystyle MNK{\small:}\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d=0{\small,} \\0 \cdot a+0 \cdot b+\frac{1}{2} \cdot c+d=0{\small,}\\0 \cdot a+\frac{1}{2} \cdot b+ 1 \cdot c+d=0{\small,}\end{aligned}\right.\)

или

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&\frac{1}{2} \cdot a+d=0{\small,} \\&\frac{1}{2} \cdot c+d=0{\small,}\\&\frac{1}{2} \cdot b+ 1 \cdot c+d=0{\small.}\end{aligned}\right.\)

Выразим коэффициенты \(\displaystyle a{\small,}\) \(\displaystyle b \) и \(\displaystyle c \) через коэффициент \(\displaystyle d {\small:}\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a=-2d{\small,} \\&c=-2d{\small,}\\&b=2d{\small.}\end{aligned}\right.\)

Замечание / комментарий

Заметим, что \(\displaystyle d \ \cancel{=}\ 0{\small.}\) Иначе \(\displaystyle a=b=c=d=0{\small.}\) Тогда уравнение \(\displaystyle ax+by+cz+d=0\) не определяет плоскость, так как уравнению \(\displaystyle 0 \cdot x+0 \cdot y+0 \cdot z+0=0\) удовлетворяют любые \(\displaystyle x{\small,}\) \(\displaystyle y \) и \(\displaystyle z{\small.} \)

Так как \(\displaystyle d \ \cancel{=}\ 0{\small,}\) то \(\displaystyle d\) можно взять произвольной константой.

Пусть \(\displaystyle d=1{\small,}\) тогда

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}&a=-2{\small,} \\&c=-2{\small,}\\&b=2{\small.}\end{aligned}\right.\)

В определённой нами системе координат уравнение плоскости \(\displaystyle MNK\) имеет вид:

\(\displaystyle -2 x+2 y-2 z+1=0 {\small.}\)

Согласно известному факту отсюда следует, что вектор с координатами \(\displaystyle \{-2{\small;}\ \ 2{\small;}-2\}\) перпендикулярен плоскости \(\displaystyle MNK{\small.}\) Тогда и вектор с координатами \(\displaystyle \{-1{\small;}\ \ 1{\small;}-1\}\) тоже перпендикулярен плоскости \(\displaystyle MNK{\small.}\) То есть можно принять, что

\(\displaystyle \vec{n} \{-1{\small;}\ \ 1{\small;}-1\} \perp (MNK){\small.}\)

Так как в кубе \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(\displaystyle BB_1\) перпендикулярно грани \(\displaystyle ABCD{\small,}\) то вектор \(\displaystyle \overrightarrow{BB_1} \{0{\small;}\ 0{\small;}\ 1\}\) перпендикулярен плоскости \(\displaystyle ABC{\small.}\) То есть можно принять, что \(\displaystyle \vec{m} = \overrightarrow{BB_1} {\small:}\)

\(\displaystyle \vec{m} \{0{\small;}\ 0{\small;}\ 1\} \perp (ABC){\small.}\)

Правило

Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение вектора \(\displaystyle \vec{a} \{x_1{\small;}\ y_1{\small;}\ z_1\} \) и вектора \(\displaystyle \vec{b} \{x_2{\small;}\ y_2{\small;}\ z_2\} \)равно сумме произведений соответствующих координат:

\(\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=x_1 \cdot x_2+ y_1 \cdot y_2+ z_1 \cdot z_2 \)

Для векторов \(\displaystyle \vec{n} \{-1{\small;}\ \ 1{\small;}-1\}\) и \(\displaystyle \vec{m} \{0{\small;}\ 0{\small;}\ 1\}\) получаем

\(\displaystyle \vec{n} \cdot \vec{m}=-1 \cdot 0+ 1 \cdot 0-1 \cdot 1=-1{\small.} \)

Правило

Длина вектора в координатной форме

Длина вектора \(\displaystyle \vec{a} \{x{\small;}\ y{\small;}\ z\} \) равна:

\(\displaystyle \big|\vec{a} \big|=\sqrt{x^2+ y^2+ z^2} \)

Для векторов \(\displaystyle \vec{n} \{-1{\small;}\ \ 1{\small;}-1\}\) и \(\displaystyle \vec{m} \{0{\small;}\ 0{\small;}\ 1\}\) получаем

\(\displaystyle \big| \vec{n}\big|=\sqrt{(-1)^2+ 1^2+(-1)^2}= \sqrt{3}{\small,} \\ \)

\(\displaystyle \big| \vec{m}\big|=\sqrt{(0)^2+ 0^2+(1)^2}=\sqrt{1}=1{\small.} \)

Теория: 03 Углы

Скалярное произведение векторов в координатах

Длина вектора в координатной форме