Решите систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\x+2y=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
\(\displaystyle x=\)\(\displaystyle {\small , }\) \(\displaystyle y=\)\(\displaystyle {\small . }\)
Заметим, что если умножить второе уравнение на \(\displaystyle 2{\small ,}\) то в нем будет \(\displaystyle 2x{\small ,}\) а в первом уравнении \(\displaystyle -2x{\small .}\) Тогда, используя метод сложения, мы сможем исключить переменную \(\displaystyle x\) (например, из второго уравнения).
Умножим второе уравнение на \(\displaystyle 2{\small , } \) а затем прибавим к нему первое уравнение.
Сначала умножим в данной системе обе части второго уравнения \(\displaystyle x+2y=2 \) на \(\displaystyle 2{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\\color{blue}{ 2}\cdot (x+2y\,)=&\color{blue}{ 2}\cdot 2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки во втором уравнении:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\\color{blue}{ 2}\cdot x+\color{blue}{ 2}\cdot 2y=&\color{blue}{ 2}\cdot 2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\2x+4y=&4{\small . }\end{aligned}\right.\)
В полученной системе прибавим ко второму уравнению первое.
Для этого к каждой части второго уравнения прибавим соответствующую часть первого уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ -2x+3y}=&\color{blue}{ 10}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+4y}=&\color{green}{ 4}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ -2x+3y}=&\color{blue}{ 10}{\small , }\\ \color{green}{ 2x+4y}+(\color{blue}{ -2x+3y}\,)=&\color{green}{ 4}+\color{blue}{ 10}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\2x+4y-2x+3y=&4+10{\small . }\end{aligned}\right.\)
Приведем во втором уравнении подобные:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -2x+3y=&10{\small , }\\ \color{blue}{ 2x}+\color{green}{ 4y}-\color{blue}{ 2x}+\color{green}{ 3y}=&4+10{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -2x+3y=&10{\small , }\\ \color{green}{ 7y}=&14{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Мы исключили из второго уравнения переменную \(\displaystyle x{\small . } \) Решим теперь получившуюся систему уравнений.
Для этого сначала найдем значение \(\displaystyle y\) из второго уравнения:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\\color{green}{ 7y}=&14{\small . }\end{aligned}\right.\)
Разделим обе части второго уравнения на \(\displaystyle 7{\small :}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}-2x+3y=&10{\small , }\\\color{green}{ y}=&2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\bf x=&\bf -2{\small , }\\\bf y=&\bf 2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x=-2{\small ,}\)\(\displaystyle y=2{\small .}\)