Дана система линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&2{\small , }\\7x-9y=&10{\small . }\end{aligned}\right.\)
Умножьте первое уравнение на \(\displaystyle 3\) и вычтите его из второго уравнения. Запишите результат после приведения подобных вместо второго уравнения системы:
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \) | \(\displaystyle 2x-3y=2{\small ,}\) |
| \(\displaystyle =\). |
Решите полученную систему уравнений:
\(\displaystyle x=\), \(\displaystyle y=\).
Нам нужно умножить первое уравнение на \(\displaystyle 3\) и вычесть его из второго уравнения.
Сначала умножим в данной системе обе части первого уравнения \(\displaystyle 2x-3y=2\) на \(\displaystyle 3{\small : } \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 3}\cdot (2x-3y\,)=&\color{blue}{ 3}\cdot 2{\small , }\\7x-9y=&10{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки в первом уравнении:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{ 3}\cdot 2x-\color{blue}{ 3}\cdot 3y=&\color{blue}{ 3}\cdot 2{\small , }\\7x-9y=&10{\small . }\end{aligned}\right.\)
Получаем систему:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}6x-9y=&6{\small , }\\7x-9y=&10{\small . }\end{aligned}\right.\)
Теперь в полученной системе вычтем из второго уравнения первое.
Для этого из каждой части второго уравнения вычтем соответствующую часть получившегося первого уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 6x-9y}=&\color{blue}{ 6}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-9y}=&\color{green}{ 10}{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{ 6x-9y}=&\color{blue}{ 6}{\small , }\\ \color{green}{ 7x-9y}-(\color{blue}{ 6x-9y}\,)=&\color{green}{ 10}-\color{blue}{ 6}{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Итак, мы вычли из второго уравнения исходной системы первое, умноженное на \(\displaystyle 3{\small . } \) Теперь заменим первое уравнение обратно на исходное:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&2{\small , }\\\color{green}{ 7x-9y}-(\color{blue}{ 6x-9y}\,)=&\color{green}{ 10}-\color{blue}{ 6}{\small . }\end{aligned}\right.\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&2{\small , }\\7x-9y-6x+9y=&10-6{\small . }\end{aligned}\right.\)
Приведем во втором уравнении подобные:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&2{\small , }\\ \color{blue}{ 7x}-\color{green}{ 9y}-\color{blue}{ 6x}+\color{green}{ 9y}=&10-6{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&2{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&4{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Таким образом, после вычитания из второго уравнения первого, умноженного на \(\displaystyle 3{\small , } \) данная в условии система примет вид:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}2x-3y=&2{\small , }\\\bf x=&\bf 4{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим полученную систему уравнений. Для этого сначала найдем значение \(\displaystyle x \) из второго уравнения:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&2{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&4{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2x-3y=&2{\small , }\\ \color{blue}{ x}=&4{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Подставим теперь найденное значение \(\displaystyle x \) в первое уравнение:
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 2\cdot 4-3y=&2{\small , }\\ x=&4{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 8-3y=&2{\small , }\\ x=&4{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Найдем из первого уравнения значение \(\displaystyle y\,{\small : } \)
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 8-3y=&2{\small , }\\ x=&4{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} -3y=&-6{\small , }\\ x=&4{\small ; } \end{aligned} \right. \) |
| \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} y=&2{\small , }\\ x=&4{\small . } \end{aligned} \right. \) |
Таким образом, система уравнений имеет решение:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x=&\bf 4{\small , }\\y=&\bf 2{\small . }\end{aligned}\right.\)
Ответ: \(\displaystyle x=4{\small ,}\)\(\displaystyle y=2{\small . }\)