Теория: 05 Разложение на множители

\(\displaystyle x^3+4x^2=4x+4{\small.}\)

Перенесем слагаемые в левую часть:

\(\displaystyle x^3+4x^2-4x-4=0{\small.}\)

Имеем уравнение третьей степени.

Попробуем разложить левую часть уравнения на множители.

Вынесем из первых двух слагаемых общий множитель \(\displaystyle x^2{\small:}\)

\(\displaystyle x^2(x+4)-4x-4=0{\small.}\)

Из оставшихся двух слагаемых вынесем общий множитель \(\displaystyle -4{\small:}\)

\(\displaystyle x^2(x+4)-4(x+4)=0{\small.}\)

Теперь общий множитель \(\displaystyle (x+4)\) можно вынести за скобку:

\(\displaystyle (x+4)(x^2-4)=0{\small.}\)

Получили, что произведение двух множителей равно нулю.

Значит, хотя бы один из множителей равен нулю:

• либо \(\displaystyle x+4=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=-4{\small;}\)
• либо \(\displaystyle x^2-4=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=2\) или \(\displaystyle x=-2{\small.}\)

  Решим уравнение \(\displaystyle x^2-4=0{\small.}\)

  Так как \(\displaystyle 4=2^2{\small,}\) то по формуле разность квадратов \(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b){\small,}\) получаем:

  \(\displaystyle x^2-2^2=0{\small,}\)

  \(\displaystyle (x-2)(x+2)=0{\small.}\)

  Значит, либо \(\displaystyle x-2=0\) и \(\displaystyle x=2{\small,}\) либо \(\displaystyle x+2=0\) и \(\displaystyle x=-2{\small.}\)

То есть корни исходного уравнения:

\(\displaystyle x_1=-4{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-2\) и \(\displaystyle x_3=2{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle x_1=-4{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-2\) и \(\displaystyle x_3=2{\small.}\)