Решите уравнение:
\(\displaystyle (x+5)^3=25(x+5){\small.}\)
(Если корней меньше трех, оставьте последние ячейки пустыми.)
\(\displaystyle (x+5)^3=25(x+5){\small.}\)
Перенесем слагаемые в левую часть:
\(\displaystyle (x+5)^3-25(x+5)=0{\small.}\)
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение третьей степени. Можно попытаться его решить.
Но заметим, что множитель \(\displaystyle (x+5)\) встречается в обоих слагаемых.
Вынесем его за скобку:
\(\displaystyle (x+5)^3-25(x+5)=0{\small,}\)
\(\displaystyle (x+5)((x+5)^2-25)=0{\small.}\)
Получили, что произведение нескольких множителей равно нулю.
Значит, хотя бы один из множителей равен нулю:
- либо \(\displaystyle x+5=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=-5{\small;}\)
- либо \(\displaystyle (x+5)^2-25=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x=-10{\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle (x+5)^2-25=0{\small.}\)
Способ 1.
Представим левую часть уравнения как произведение нескольких скобок.
Для этого воспользуемся формулой разность квадратов: \(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b){\small.}\)
Так как \(\displaystyle 25=5^2{\small,}\) то
\(\displaystyle (x+5)^2-\color{blue}{25}=0{\small,}\)
\(\displaystyle (x+5)^2-\color{blue}{5^2}=0{\small,}\)
\(\displaystyle ((x+5)-5)((x+5)+5)=0{\small,}\)
\(\displaystyle x(x+10)=0{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x=-10{\small.}\)
Способ 2.
Раскроем скобки, используя формулу \(\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2{\small,}\) и приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle (x+5)^2-25=0{\small,}\)
\(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot5+5^2-25=0{\small,}\)
\(\displaystyle x^2+10x=0{\small.}\)
Теперь можно вынести \(\displaystyle x\) за скобку:
\(\displaystyle x(x+10)=0{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x=-10{\small.}\)
То есть корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=-10{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-5\) и \(\displaystyle x_3=0{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=-10{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-5\) и \(\displaystyle x_3=0{\small.}\)