Решите уравнение:
\(\displaystyle (x-3)^3=9(x-3){\small.}\)
(Если корней меньше трех, оставьте последние ячейки пустыми.)
\(\displaystyle (x-3)^3=9(x-3){\small.}\)
Перенесем слагаемые в левую часть:
\(\displaystyle (x-3)^3-9(x-3)=0{\small.}\)
Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится уравнение третьей степени. Можно попытаться его решить.
Но заметим, что множитель \(\displaystyle (x-3)\) встречается в обоих слагаемых.
Вынесем его за скобку:
\(\displaystyle (x-3)^3-9(x-3)=0{\small,}\)
\(\displaystyle (x-3)((x-3)^2-9)=0{\small.}\)
Получили, что произведение нескольких множителей равно нулю.
Значит, хотя бы один из множителей равен нулю:
- либо \(\displaystyle x-3=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=3{\small;}\)
- либо \(\displaystyle (x-3)^2-9=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x=6{\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle (x-3)^2-9=0{\small.}\)
Способ 1.
Представим левую часть уравнения как произведение нескольких скобок.
Для этого воспользуемся формулой разность квадратов: \(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b){\small.}\)
Так как \(\displaystyle 9=3^2{\small,}\) то
\(\displaystyle (x-3)^2-\color{blue}{9}=0{\small,}\)
\(\displaystyle (x-3)^2-\color{blue}{3^2}=0{\small,}\)
\(\displaystyle ((x-3)-3)((x-3)+3)=0{\small,}\)
\(\displaystyle (x-6)x=0{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=6\) или \(\displaystyle x=0{\small.}\)
Способ 2.
Раскроем скобки, используя формулу \(\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2{\small,}\) и приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle (x-3)^2-9=0{\small,}\)
\(\displaystyle x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2-9=0{\small,}\)
\(\displaystyle x^2-6x=0{\small.}\)
Теперь можно вынести \(\displaystyle x\) за скобку:
\(\displaystyle x(x-6)=0{\small.}\)
Значит, \(\displaystyle x=0\) или \(\displaystyle x=6{\small.}\)
То есть корни исходного уравнения:
\(\displaystyle x_1=6{\small,}\) \(\displaystyle x_2=3\) и \(\displaystyle x_3=0{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=6{\small,}\) \(\displaystyle x_2=3\) и \(\displaystyle x_3=0{\small.}\)