Теория: 05 Разложение на множители

\(\displaystyle x^3+2x^2=9x+18{\small.}\)

Перенесем слагаемые в левую часть:

\(\displaystyle x^3+2x^2-9x-18=0{\small.}\)

Имеем уравнение третьей степени.

Попробуем разложить левую часть уравнения на множители.

Вынесем из первых двух слагаемых общий множитель \(\displaystyle x^2{\small:}\)

\(\displaystyle x^2(x+2)-9x-18=0{\small.}\)

Из оставшихся двух слагаемых вынесем общий множитель \(\displaystyle -9{\small:}\)

\(\displaystyle x^2(x+2)-9(x+2)=0{\small.}\)

Теперь общий множитель \(\displaystyle (x+2)\) можно вынести за скобку:

\(\displaystyle (x+2)(x^2-9)=0{\small.}\)

Получили, что произведение двух множителей равно нулю.

Значит, хотя бы один из множителей равен нулю:

• либо \(\displaystyle x+2=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=-2{\small;}\)
• либо \(\displaystyle x^2-9=0{\small,}\) тогда \(\displaystyle x=3\) или \(\displaystyle x=-3{\small.}\)

  Решим уравнение \(\displaystyle x^2-9=0{\small.}\)

  Так как \(\displaystyle 9=3^2{\small,}\) то по формуле разность квадратов \(\displaystyle a^2-b^2=(a-b)(a+b){\small,}\) получаем: 

  \(\displaystyle x^2-3^2=0{\small,}\)

  \(\displaystyle (x-3)(x+3)=0{\small.}\)

  Значит, либо \(\displaystyle x-3=0\) и \(\displaystyle x=3{\small,}\) либо \(\displaystyle x+3=0\) и \(\displaystyle x=-3{\small.}\)

То есть корни исходного уравнения:

\(\displaystyle x_1=-3{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-2\) и \(\displaystyle x_3=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle x_1=-3{\small,}\) \(\displaystyle x_2=-2\) и \(\displaystyle x_3=3{\small.}\)